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Cauchy Schwarz Ungleichung für Integrale

Universität / Fachhochschule

Integration

Maßtheorie

Tags: Cauchy Schwarz Ungleichung, Integration, Lebesgue, Maßtheorie

 
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Alnura

Alnura aktiv_icon

11:59 Uhr, 09.12.2018

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Hallo, ich versuche mich bislang erfolglos daran die Cauchy Schwarz Ungleichung für Integrale zu beweisen, d.h. folgendes zu zeigen:
Sind f,g:n sowie f2 und g2 integrierbar, so gilt:
(n|f(x)g(x)|dx)2(n|f(x)|2dx)(n|g(x)|2dx)
Ich hatte gedacht man konnte villeicht irgednetwas mit dem Satz von Fubini anfangen, aber habe irgendwie keinen richtigen Ansatz gefunden. Wäre super dankbar für einen Tip :-)
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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teergrube

teergrube aktiv_icon

12:28 Uhr, 09.12.2018

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Zeige doch erst einmal die Ungleichung für f und g mit der zusätzlichen Annahme, dass f2dx=g2dx=1 ist. Benutze dann die sogenannte Youngsche Ungleichung ab12a+12b (das bekommt man durch Umformen aus der binomischen Formel). Dann bekommst du die Ungleichung. Für andere f und g kannst du einfach durch f2dx bzw g2dx teilen
Alnura

Alnura aktiv_icon

12:44 Uhr, 09.12.2018

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Vielen Dank für die Antwort! Ich verstehe leider noch nciht ganz, was mir die Zusatzannahme, dass die beiden Integrale gleich 1 sind hilft. Muss ich das für die Integrale jeweils mit dem Betrag im Integral annehmen oder ohne den Betrag, also n|f(x)|=1 oder nf(x)=1

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