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Cauchy-Schwarz Ungleichung für Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

mmrtzh aktiv_icon

22:24 Uhr, 02.12.2019

Hallo!

Ich soll die Cauchy-Schwarz Ungleichung in Bezug auf Reihen zeigen, siehe angehängtes Bild.

Wäre es ein Fehler einfach auf die schon bewiesene Ungleichung in Bezug auf Skalarprodukte zu verweisen und einfach bei

ℝ^{n} x ℝ^{n} \to ℝ, n \to

unendlich gehen zu lassen?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

22:37 Uhr, 02.12.2019

Es ist nicht nötig rumzueiern a la "einfach

n \to \infty

gehen lassen", man kann das ganze auch SAUBER mit der normalen CSU bewältigen: Die liefert

{(\sum_{n = 1}^{k} ∣ a_{n} b_{n} ∣)}^{2} \leq (\sum_{n = 1}^{k} a_{n}^{2}) \cdot (\sum_{n = 1}^{k} b_{n}^{2})

.

Nun kann man die rechte Seite weiter nach oben abschätzen durch die entsprechenden Reihen, während links erstmal alles bleibt. Das bedeutet

{(\sum_{n = 1}^{k} ∣ a_{n} b_{n} ∣)}^{2} \leq (\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}) \cdot (\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}^{2})

für ALLE

k

.

Damit ist

k \mapsto \sum_{n = 1}^{k} ∣ a_{n} b_{n} ∣

nach oben beschränkt, und monoton wachsend ist es sowieso, ergo auch konvergent. Und die Konvergenz der Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ a_{n} b_{n} ∣

ist gleichbedeutend mit der absoluten Konvergenz von

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

mmrtzh aktiv_icon

22:56 Uhr, 02.12.2019

Danke erstmal!

Ich hätte noch eine kleine Frage zur Ungleichung für die Reihen:
Weil wir sagen, dass

{(\sum_{n = 1}^{k} | a_{n} \cdot b_{n} |)}^{2} \leq (\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}^{2}) \cdot (\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}^{2})

für alle

k

gilt, dann können wir annehmen, dass

{(\sum_{n = 1}^{k} | a_{n} \cdot b_{n} |)}^{2} \Leftrightarrow {(\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} \cdot b_{n} |)}^{2}

äquivalent sind?

HAL9000

08:01 Uhr, 03.12.2019

Äquivalenz von Termen verstehe ich so, dass sie gleich sind. Und in dem Sinn ist diese deine Äquivalenzaussage falsch.

1488846

1488822

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