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Cauchy-Schwarz Ungleichung für Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

 
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mmrtzh

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22:24 Uhr, 02.12.2019

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Hallo!

Ich soll die Cauchy-Schwarz Ungleichung in Bezug auf Reihen zeigen, siehe angehängtes Bild.

Wäre es ein Fehler einfach auf die schon bewiesene Ungleichung in Bezug auf Skalarprodukte zu verweisen und einfach bei nxn,n unendlich gehen zu lassen?

LG

skalar

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

22:37 Uhr, 02.12.2019

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Es ist nicht nötig rumzueiern a la "einfach n gehen lassen", man kann das ganze auch SAUBER mit der normalen CSU bewältigen: Die liefert

(n=1kanbn)2(n=1kan2)(n=1kbn2).

Nun kann man die rechte Seite weiter nach oben abschätzen durch die entsprechenden Reihen, während links erstmal alles bleibt. Das bedeutet

(n=1kanbn)2(n=1an2)(n=1bn2) für ALLE k.

Damit ist kn=1kanbn nach oben beschränkt, und monoton wachsend ist es sowieso, ergo auch konvergent. Und die Konvergenz der Reihe n=1anbn ist gleichbedeutend mit der absoluten Konvergenz von n=1anbn.
mmrtzh

mmrtzh aktiv_icon

22:56 Uhr, 02.12.2019

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Danke erstmal!

Ich hätte noch eine kleine Frage zur Ungleichung für die Reihen:
Weil wir sagen, dass

(n=1k|anbn|)2(n=1an2)(n=1bn2)

für alle k gilt, dann können wir annehmen, dass

(n=1k|anbn|)2(n=1|anbn|)2

äquivalent sind?
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

08:01 Uhr, 03.12.2019

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Äquivalenz von Termen verstehe ich so, dass sie gleich sind. Und in dem Sinn ist diese deine Äquivalenzaussage falsch.