Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Cauchy-Schwarz-Ungleichung und Dualraum

Cauchy-Schwarz-Ungleichung und Dualraum

Universität / Fachhochschule

Tags: Abschätzung, Cauchy-Schwarz-Ungleichung, Norm, Operatornorm, Skalarprodukt, Subdifferential, Subgradient, Ungleichung

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Cafematiker

Cafematiker aktiv_icon

17:29 Uhr, 10.07.2019

Antworten
Hallo zusammen,

es geht um folgende kurze Frage: ich suche alle y\Rn, für die

y,vv1vRn

gilt. Die Lösung besagt: alle y mit y1. Wie lässt sich das sauber begründen?

Genauer frage ich mich: Da ich die Ungleichung auch mit Beträgen betrachten kann (es muss ja für v und -v beliebig aus Rn gelten), folgt nach Cauchy-Schwarz-Ungleichung zwar

y,vyv

und ich kann behaupten, dass das 1v sein soll, aber das liefert ja wenn dann nur eine Teilmenge.
Außerdem frage ich mich, warum ich hier nicht für y und v die gleiche Norm betrachten muss, also bei v die 1-Norm und bei y die Dualnorm zu l1 heranziehen kann (als Operatornorm)?

Vielen herzlichen Dank vorab für eure Hilfe!!! :-)

Zum Hintergrund (falls interessant oder hilfreich): die Problematik stammt aus meinen Aufzeichnungen, bei der ich das Subdifferential von f(x)=x1 in x0=0 bestimmen sollte, also

f(x0)={y\Rny,vδ+f(x0,v)v\Rn}

wobei δ+f(x0,v) das einseitige Gâteaux-Differential bezeichnet (was hier v1 ist). Vielleicht stammt ja allgemeiner y immer aus dem Dualraum (das wird in meinen Aufzeichnungen aber nirgends erwähnt)?




Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
pwmeyer

pwmeyer

11:58 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Hallo,

die Lösung hat ja 2 "Richtungen":

- Notwendig ist ||y||1: Betrachte dazu Vektoren v, die nur auf einer Position eine 1 haben und sonst nur 0.

- Hinreichen: Schätze |yi||vi| mit |yi|1 ab.

Gruß pwm
Cafematiker

Cafematiker aktiv_icon

20:38 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Vielen Dank, pwm! So ist es ziemlich einfach und die Äquivalenz verständlich. :-)

Meine Frage ist nur, warum an dieser Stelle im Skript die Cauchy-Schwarz-UG zitiert wird? Kann man darüber auch die Bedingung y1 irgendwie über den Dualraum erhalten?
Antwort
pwmeyer

pwmeyer

21:52 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Hallo,

vielleicht soll nur auf die Analogie hingewiesen werden. Die l_2-Norm ist ja zu sich selbst dual. Also steht bei der CSU rechts auch das Produkt aus der Norm und der dualen Norm.

Gruß pwm
Frage beantwortet
Cafematiker

Cafematiker aktiv_icon

11:46 Uhr, 14.07.2019

Antworten
Hallo pwm,

ah, ich verstehe. Es geht also vermutlich i.e.S. gar nicht um die Anwendung der klassischen Cauchy-Schwarz-UG. Man kann hier allgemein die Beziehung zwischen Skalarprodukt und der l1-Norm mit der dazu dualen l-Norm schlussfolgern.

Vielen Dank für deine Hilfe! :-)

Viele Grüße,
Cafematiker