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Cauchy-Schwarz-Ungleichung und Dualraum

Universität / Fachhochschule

Tags: Abschätzung, Cauchy-Schwarz-Ungleichung, Norm, Operatornorm, Skalarprodukt, Subdifferential, Subgradient, Ungleichung

Cafematiker aktiv_icon

17:29 Uhr, 10.07.2019

Hallo zusammen,

es geht um folgende kurze Frage: ich suche alle

y \in \ R^{n}

, für die

〈 y, v 〉 \leq ∣ ∣ v ∣ ∣_{1} \forall v \in R^{n}

gilt. Die Lösung besagt: alle

y

mit

∣ ∣ y ∣ ∣_{\infty} \leq 1

. Wie lässt sich das sauber begründen?

Genauer frage ich mich: Da ich die Ungleichung auch mit Beträgen betrachten kann (es muss ja für

v

und

- v

beliebig aus

R^{n}

gelten), folgt nach Cauchy-Schwarz-Ungleichung zwar

∣ 〈 y, v 〉 ∣ \leq ∣ ∣ y ∣ ∣ \cdot ∣ ∣ v ∣ ∣

und ich kann behaupten, dass das

\leq 1 \cdot ∣ ∣ v ∣ ∣

sein soll, aber das liefert ja wenn dann nur eine Teilmenge.
Außerdem frage ich mich, warum ich hier nicht für y und v die gleiche Norm betrachten muss, also bei

v

die 1-Norm und bei

y

die Dualnorm zu

l_{1}

heranziehen kann (als Operatornorm)?

Vielen herzlichen Dank vorab für eure Hilfe!!! :-)

Zum Hintergrund (falls interessant oder hilfreich): die Problematik stammt aus meinen Aufzeichnungen, bei der ich das Subdifferential von

f (x) = ∣ ∣ x ∣ ∣_{1}

x^{0} = 0

bestimmen sollte, also

\partial f (x^{0}) = {y \in \ R^{n} ∣ 〈 y, v 〉 \leq δ_{+} f (x^{0}, v) \forall v \in \ R^{n}}

wobei

δ_{+} f (x^{0}, v)

das einseitige Gâteaux-Differential bezeichnet (was hier

∣ ∣ v ∣ ∣_{1}

ist). Vielleicht stammt ja allgemeiner

y

immer aus dem Dualraum (das wird in meinen Aufzeichnungen aber nirgends erwähnt)?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

pwmeyer aktiv_icon

11:58 Uhr, 12.07.2019

Hallo,

die Lösung hat ja 2 "Richtungen":

- Notwendig ist

{| | y | |}_{\infty} \leq 1 :

Betrachte dazu Vektoren

v,

die nur auf einer Position eine 1 haben und sonst nur 0.

- Hinreichen: Schätze

\sum | y_{i} | \cdot | v_{i} |

mit

| y_{i} | \leq 1

ab.

Gruß pwm

Cafematiker aktiv_icon

20:38 Uhr, 12.07.2019

Vielen Dank, pwm! So ist es ziemlich einfach und die Äquivalenz verständlich. :-)

Meine Frage ist nur, warum an dieser Stelle im Skript die Cauchy-Schwarz-UG zitiert wird? Kann man darüber auch die Bedingung

∣ ∣ y ∣ ∣_{\infty} \leq 1

irgendwie über den Dualraum erhalten?

pwmeyer aktiv_icon

21:52 Uhr, 12.07.2019

Hallo,

vielleicht soll nur auf die Analogie hingewiesen werden. Die l_2-Norm ist ja zu sich selbst dual. Also steht bei der CSU rechts auch das Produkt aus der Norm und der dualen Norm.

Gruß pwm

Cafematiker aktiv_icon

11:46 Uhr, 14.07.2019

Hallo pwm,

ah, ich verstehe. Es geht also vermutlich i.e.S. gar nicht um die Anwendung der klassischen Cauchy-Schwarz-UG. Man kann hier allgemein die Beziehung zwischen Skalarprodukt und der

l_{1}

-Norm mit der dazu dualen

l_{\infty}

-Norm schlussfolgern.

Vielen Dank für deine Hilfe! :-)

Viele Grüße,
Cafematiker

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