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Cauchy-Schwarzsche Ungleichung per Induktion

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Auon01 aktiv_icon

17:57 Uhr, 04.11.2021

Nabend zusammen,
zu Beweisen ist die Cauchy-Schwarzesche Ungleichung (siehe Anhng) per Induktion. Vorrausgesetzt ist die reine Analysis und keine Ansätze der Linearen Algebra. Alle benutzten Axiome müssen vorher auch bewiesen werden.
Mein Ansatz war das ganze per Binomischen Formel zu lösen und mal zu gucken wo´s mich hintreibt, jedoch bin ich damit schnell an meine Grenzen gestoßen (siehe Anhang).
Vielen Dank für jede Hilfe
Auon01

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

18:57 Uhr, 04.11.2021

Naja, wenn ich mich mal auf deinen Induktionsweg einlasse: Damit man nicht ständig schauen muss, auf welche Terme hin man umformen muss, würde ich vorschlagen, eher die "Differenz"

(\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}) \cdot (\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2}) - {(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k})}^{2} \geq 0

nachzuweisen. Im Induktionsschritt

n \to n + 1

bekommt man unter Einsatz der Induktionsvoraussetzung (IV) dann

(\sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k}^{2}) \cdot (\sum_{k = 1}^{n + 1} b_{k}^{2}) - {(\sum_{k = 1}^{n + 1} a_{k} b_{k})}^{2}

= (\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2} + a_{n + 1}^{2}) \cdot (\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2} + b_{n + 1}^{2}) - {(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} + a_{n + 1} b_{n + 1})}^{2}

\overset{I V}{\geq} \sum_{k = 1}^{n} [b_{n + 1}^{2} a_{k}^{2} + a_{n + 1}^{2} b_{k}^{2} - 2 a_{n + 1} b_{n + 1} a_{k} b_{k}]

.

Tja, und hier sollte mit gutem Auge was erkennbar sein.

Auon01 aktiv_icon

19:34 Uhr, 04.11.2021

Das "gute Auge" trifft nun nicht ganz bei mir zu. Ein Fazit können wir ja noch nicht ziehen, da für a,b

\in ℝ

. Also das (... - ...)= negatives Ergebniss, oder?
Ansonsten fällt mir da jetzt nicht spezielles auf.

HAL9000

19:39 Uhr, 04.11.2021

Innerhalb der []-Klammmer steht ein komplettes Binomquadrat, d.h.

\sum_{k = 1}^{n} {[b_{n + 1} a_{k} - a_{n + 1} b_{k}]}^{2}

, und das ist natürlich

\geq 0

Auon01 aktiv_icon

19:43 Uhr, 04.11.2021

Achso, stimmt. Ist bin erst seit nem Monat im ersten Semester und hatte dafür jetzt nicht das Auge. Vielen Dank für den Hinweis, besonders über lösen über die Differenz. Wäre da denn noch ein anderer Weg, denn du bevorzugt hättest?

HAL9000

19:52 Uhr, 04.11.2021

Ein direkter Beweis (ohne Induktion) wäre der: Sei

A := \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}

B := \sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2}

sowie

C := \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k}

, dann lautet die Behauptung

A B \geq C^{2}

.

Im Fall

A = 0

sind alle

a_{k} = 0

und damit auch

C = 0

, die Behauptung gilt damit trivialerweise. Andernfalls ist

A > 0

, und aus

0 \leq \sum_{k = 1}^{n} {(C a_{k} - A b_{k})}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} (C^{2} a_{k}^{2} - 2 A C a_{k} b_{k} + A^{2} b_{k}^{2}) = C^{2} A - 2 A C^{2} + A^{2} B = A (A B - C^{2})

folgt dann unmittelbar die Behauptung.

Auon01 aktiv_icon

20:06 Uhr, 04.11.2021

Soweit eigentlich alles verständlich. Jedoch frage ich mich,wie du logisch auf 0

\leq

\sum_{k = 1}^{n} (C a_{k} - A b_{k})^{2}

kommst.

HAL9000

20:14 Uhr, 04.11.2021

Was bedeutet es, auf etwas "logisch kommen" zu müssen/wollen? In solchen Kategorien denke ich nicht. ;-)

Die Ungleichung gilt doch, mehr ist für die Akzeptanz des Beweises nicht nötig - auch wenn Didaktiker da unzufrieden sein mögen. Mehr zum Thema CSU z.B. hier:

www.matheboard.de/thread.php?threadid=600357

Auon01 aktiv_icon

20:22 Uhr, 04.11.2021

Ja, der Thread hat alles geklärt. Vielen Dank für deine Hilfe und Ausdauer. :-)

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