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Cauchyfolge im euklidischen Raum
Universität / Fachhochschule
Tags: Cauchyfolge, euklidischer Raum, Konvergenz
 
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Hallo, ich will nachweisen, dass im euklidischen Raum jede Cauchyfolge konvergiert. Dazu habe ich folgende Ungleichung zur Verfügung: für Cauchyfolge heißt, dass Sei der GW von . Dieser muss dann in liegen: Es gilt Aber wie habe ich damit gezeigt, dass der Grenzwert in liegt, wenn das richtig sein sollte? Edit: Oder ist es so: Nach der Ungleichung entpricht Konvergenz einer Folge koordiantenweiser Konvergenz. Wenn eine Cauchyfolge ist, ist sie in jeder Komponente eine. Aber Cauchyfolgen in sind konvergent und damit dann auch ? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo Florentine1996, so kannst du das leider nicht machen. Deine Bezeichnungsweise ist nicht geeignet; denn du benutzt auf zweierlei Weise, einmal soll es das -te Folgenglied einer Folge von Elementen des sein, dann wieder die -te Komponente eines . Vielleicht können wir uns darauf einigen, dass eine Folge hochgestellte Indizes hat: und die -te Komponente von sein soll? Oder hast du einen anderen "Eindeutigmachvorschlag"? Gruß ermanus |
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Ja, das was du nach dem Edit geschrieben hast, ist es ! |
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Dankeschön ermanus:-) Ja du hast Recht, ich sollte durchgehend schreiben für eine Folge mit k-Komponenten. Was ist denn an meinem ersten Ansatz falsch? |
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Ich hatte eigentlich gemeint, dass die Folgenglieder heißen sollen und deren Komponente mit und , also sollte sein: . In deinem ersten Ansatz ist nicht klar, warum es ein solches geben sollte und wie der Begriff Grenzwert zu verstehen ist. |
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Ok so ist das. Ja dann habe ich ja einen Beweis. Vielen Dank für deine Hilfe:-) |
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Ich hätte doch noch eine Frage zu folgender Definition: Ist normierter Raum und ist bzgl. der durch die Norm induzierten Metrik vollständig, dann heißt Banachraum. Ist das so gemeint, dass der bzgl der Metrik vollständig sein soll? |
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Ja, es ist dann die induzierte Metrik. Und in dieser Metrik soll er vollständig sein. |
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Was bedeutet induziert in diesem Kontext genau. Also kann man es sich so denken. Also wenn bezüglich der Metrik vollständig ist, und jeder eukldische Raum ein metrischer Raum ist, ist der euklidische dann auch vollständig. |
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"induziert" heißt hier einfach durch die "natürliche" Definition festgelegt. Klar ist der endlich dimensionale euklidische Raum vollständig, da seine Metrik u.a. von der euklidischen Norm herkommt. War es das, was du meintest? |
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Ja. Du sagst: da seine Metrik . von der euklidischen Norm herkommt. Die Metrik ist doch die allgemeinere Struktur. Meinst du dass durch die Norm auch die metrischen Axiome erfüllt werden? |
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Ja, so herum funktioniert es. Es gibt umgekehrt Metriken, die nicht von einer Norm herkommen, z.B. die diskrete Metrik. |
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Und die Def. bezieht sich auf die Metrik die durch die Norm dann definiert wird. Warum macht man das so umständlich? |
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Vollständigkeit gibt es ja auch bei Metriken, die nicht von einer Norm herkommen, z.B. ist jede Menge mit der diskreten Metrik versehen ein vollständiger Raum. |
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Ok danke nochmal. Ich habe es jetzt verstanden:-) |
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Falsches Thema |
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anonymous 18:43 Uhr, 21.08.2018 |
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Du das ist aussichtalos. Ich verweise auf die Literatur zur Topologie . Ich will die Aussage als Hauptsatz bezeichnen; jeden metrischen Raum kannst du vervollständigen . Wie üblich gehst du von einer Klasseneinteilung aus; zwei Cauchyfolgen und heißen äquivalent, wenn die Abstände eine Nullfolge bilden . Es stellt einen technisch unheimlich aufwändigen Beweis dar, wenn du den Raum dieser Gleichheitsklassen betrachtest. Der ist topologisch vollständig; jede Cauchyfolge, sprich Folge von Klassen, konvergiert. |
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Was ist aussichtslos??? |
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