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Cauchyfolge zeigen

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Gogoman96 aktiv_icon

20:24 Uhr, 08.11.2018

sei

{(x_{n})}_{x \in ℕ}

eine Folge reeller Zahlen mit

\forall n \in ℕ : | x_{n + 1} - x_{n} | \leq 2^{- n}

.

Zeigen Sie , dass

{(x_{n})}_{n} \in ℕ

eine Cauchyfolge ist.

Ich verstehe nicht genau wie ich diese Aufgabe hier angehen soll und fände es toll wenn mir jemand einen Ansatz erklären könnte. Meine Idee wäre halt nach oben abzuschätzen nur wie ist halt die Frage.

Als Tipp wurde mir mitgegeben

| x_{m} - x_{n} |

= | x_{m} - x_{m - 1} + x_{m - 1} - x_{m - 2} + ... - x_{n - 1} + x_{n + 1} - x_{n} |

Wir haben hakt ganz viele Glieder reingehauen die eig.

= 0

sind. Dann kam halt meine Idee das ich nach oben abschätze mit dem

\leq 2^{- n}

nur wie genau weiß ich leider nicht. Wie genau würde mir das dann zeigen , dass es sich um eine Cauchyfolge handelt. Müsste ich nicht noch zeigen, dass die Folge beschränkt ist? Danke im voraus.

Gruß David

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

20:39 Uhr, 08.11.2018

Hallo,

wende VOR der Abschätzung die Dreiecksungleihung an:

∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

Dadurch und die Abschätzung jedes einzelnen Summanden gemäß Eigenschaft ergibt eine Summe von Zweierpotenzen. Klammere die kleinste aus!

Mfg Michael

Gogoman96 aktiv_icon

21:11 Uhr, 08.11.2018

Okay also nach anwenden der Dreiecksungleichung:

\leq | x_{m} - x_{m - 1} | + | x_{m - 1} - x_{m - 1} | + ... . + | x_{n + 1} - x_{n} |

\leq {(\frac{1}{2})}^{m} + {(\frac{1}{2})}^{m - 1} + . .

+ {(\frac{1}{2})}^{n}

jetzt die kleinste ausklammern welche

{(\frac{1}{2})}^{n}

ist

= {(\frac{1}{2})}^{n} ({(\frac{1}{2})}^{m - n} + {(\frac{1}{2})}^{m - 1 - n} + ... . + 1)

hmm aber wie genau schaff ich es damit zu beweisen das es eine Cauchyfolge ist? Also auf was muss ich am Ende kommen?

Gogoman96 aktiv_icon

21:24 Uhr, 08.11.2018

Wäre dieser Schritt richtig? Es sieht nämlich für mich irgendwie nach einer Reihe aus.

{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot \sum_{n = 0}^{m - n} {(\frac{1}{2})}^{n}

Das scheint mir aber gar nicht weiter zu helfen...

Gruß David

michaL aktiv_icon

22:05 Uhr, 08.11.2018

Hallo,

für

m > n

ist der Faktor

{(\frac{1}{2})}^{m}

der kleinere!

Nach dem Ausklammern erhältst du

{(\frac{1}{2})}^{m} (1 + 2 + \dots + 2^{m - n}) = {(\frac{1}{2})}^{m} \cdot \sum_{k = 0}^{m - n} 2^{k} = \frac{2^{m - n + 1} - 1}{2^{m}} < \frac{2^{m - n + 1}}{2^{m}} = 2^{1 - n}

.

Reicht das?

Mfg Michael

Gogoman96 aktiv_icon

22:16 Uhr, 08.11.2018

Jap reicht Dankeschön.

Gogoman96 aktiv_icon

09:47 Uhr, 09.11.2018

Eine Frage habe ich noch wie beweist das jetzt , dass es sich um eine Cauchyfolge handelt.

pwmeyer aktiv_icon

17:41 Uhr, 09.11.2018

Wie war nochmal eine Cauchy-Folge definiert?

Gogoman96 aktiv_icon

18:19 Uhr, 09.11.2018

Zu jedem beliebig gewählten Epsilon gibt es zwei Folgeglieder von denen der Abstand kleiner ist als das Epsilon.

Gruß David

ledum aktiv_icon

19:19 Uhr, 09.11.2018

Und wie musst du also

n

Wählen, damit es kleiner

ε

ist?
Gruß ledum

Gogoman96 aktiv_icon

19:31 Uhr, 09.11.2018

Weiß ich leider nicht. Ich würde sagen, da für das

ε

ein

N

existiert mit

| a_{n} - a_{m} | < ε, \forall n, m \geq N

. Also muss man natürlich ein

n

wählen welches größer ist als das N.

Gruß David

pwmeyer aktiv_icon

21:46 Uhr, 09.11.2018

Hallo,

Deine Aussagen zur Definition von "Cauchy-Folge" sind beide falsch - auch wenn man vermuten kann, dass Du es in etwa verstanden hast. In einer mündlichen Prüfung würde das nicht reichen.

Also: Zu jedem

ε > 0

gibt es ein

n \in ℕ,

so dass für alle

(!) n, m \geq N

gilt

| a_{n} - a_{m} | < ε

.

Wenn man eine brauchbare Abschätzung für

| a_{n} - a_{m} |

hat, verwendet man die, um das

N

zu bestimmen.

Du hast

| a_{n} - a_{m} | \leq 2^{1 - n}

(falls

m \geq n)

. Also kann man

N

so wählen, dass

2^{1 - N} < ε

ist.

Gruß pwm

Gogoman96 aktiv_icon

13:36 Uhr, 10.11.2018

Danke jetzt hab ich es verstanden.

MfG David

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