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Cauchyprodukt bzw. Summe berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Cauchy Produkt, Folgen, Reihen, Summe ausrechnen

schwarzer-engel aktiv_icon

22:23 Uhr, 21.03.2011

Guten Abend, kann mr vielleicht jemand helfen?
Ich habe folgende Aufgabe entdeckt (Anhang) und würde gerne nachvollziehen, was dort gemacht wurden ist. Teil

a)

mit dem Cauchyprodukt habe ich soweit verstanden, und bin beim nachrechnen auch auf die selbe Lösung gekommen.

Aber bei Teil

b

verstehe ich nicht so recht was dort gemacht wurden ist um die Summe zu berechnen. meine Probleme fangen schon gleich am Anfang an, warum multipliziert man die gegebene Summe mit

\frac{1}{2}

und addiert dann das Ergebniss der Summe

\sum_{n = 1}^{\infty} n \cdot q^{n} \cdot \frac{1}{2}

dazu?
Versteht jemand was dort gemacht wurden ist? Ich sitz da schon den ganzen Tag dran. Wäre super wenn jemand schlaues mir das erklären könnte.

Alx123 aktiv_icon

22:43 Uhr, 21.03.2011

Hallo,
es soll also die Reihe:

\sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} q^{n}

berechnet werden.

Hier wird zu der zuberechnenden Reihe was dazu addiert um auf das Zwischenergebnis von a) zukommen. Es gilt:

\frac{1}{2} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} q^{n} + \frac{1}{2} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} n q^{n} = \frac{1}{2} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} (n^{2} q^{n} + n q^{n}) = \frac{1}{2} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} ((n^{2} + n) q^{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n (n + 1)}{2} q^{n}

auch hat man hier natürlich die

\frac{1}{2}

an die Reihen ranmultipliziert um sie später in die Summe zuziehen. Jetzt hat man die Reihe die schon aus a) bekannt ist, man kann sie also wieder also Cauchy-Produkt schreiben:

\frac{1}{2} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} n^{2} q^{n} + \frac{1}{2} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} n q^{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n (n + 1)}{2} q^{n} = \frac{1}{1 - q} \cdot \frac{q}{(1 - q)^{2}}

und das kann man ja jetzt nach der gesuchten Reihe umstellen.

schwarzer-engel aktiv_icon

22:56 Uhr, 21.03.2011

Ah, man versucht also erst auf die eine Reihe, die schon berechnet ist, zu kommen, um daraus dann die gegebene Reihe zu entwickeln. Oh man da hatte ich echt ein Brett vorm Kopf. Danke danke!!! Hab es endlich verstanden!

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