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Cauchyprodukt cos(2x)

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Lea4567 aktiv_icon

14:58 Uhr, 16.01.2023

Ich soll zeigen , dass

cos (2 x) =

2cos(^2)(x)-1
ich stehe leider etwas auf dem Schlauch. Habe etwas Probleme ein Bild einzufügen, aber ich habe erstmal den cosinus in reihendarstellung aufgeschrieben

2 \cdot (cos (x) \cdot cos (x) - 1

also das in reihendarstellung und dann mit cn: summenzeichen

k = 0

bis unendlich an-k *bk vereinfacht.

ich komme leider nicht weiter

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

15:02 Uhr, 16.01.2023

Hallo
das ist doch kein Cauchy Produkt
Benutze das Additionstheorem für

cos (x + x)

und

{sin}^{2} + {cos}^{2} = 1

ledum

Lea4567 aktiv_icon

15:05 Uhr, 16.01.2023

Meine Aufgabe sagt mir ich soll das mit dem Cauchyprodukt zeigen

\frac{:}{}

ledum aktiv_icon

15:17 Uhr, 16.01.2023

bitte zitiere die wörtliche Aufgabe, sonst schreibe die rechte Seite als Produkt der

cos (x)

Reihen

- 1

und zeige dass die Reihe für

cos (2 x)

rauskommt.
Gruß lul

Lea4567 aktiv_icon

15:31 Uhr, 16.01.2023

Die wörtliche Aufgabe lautet
Zeigen Sie mit dem Cauchy Produkt, dass

cos (2 x) =

2cos^2 (x)

- 1

gilt.

HAL9000

15:38 Uhr, 16.01.2023

Ok, benutzt werden darf vermutlich die Potenzreihe

\cos (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} z^{2 n}

.

Na dann bilde doch mal das Cauchyprodukt dieser Potenzreihe mit sich selbst:

de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel

Lea4567 aktiv_icon

15:41 Uhr, 16.01.2023

genau das habe ich gemacht, dann mit der formel vom cauchyprodukt

c :

summenzeichen an-k*bk

in diese Form gebracht und dann vereinfacht und vor das Summenzeichen gezogen.

habe

2 \cdot {(- 1)}^{n} \cdot x^{2} \cdot n (

summenzeichen

\frac{1}{(2 \cdot (n - k))! \cdot (2 \cdot k)!}) - 1

wie mache ich weiter?

HAL9000

15:50 Uhr, 16.01.2023

Da ist einiges schiefgegangen - ob nun nur in der Darstellung oder auch tatsächlich in der Rechnung, vermag ich nicht zu sagen, vermutlich beides. Ich bekomme raus

\cos^{2} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} x^{2 n} \cdot \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{(2 k)! \cdot (2 n - 2 k)!}

.

Angesichts von Binomialkoeffizient

(\begin{array}{c} 2 n \\ 2 k \end{array}) = \frac{(2 n)!}{(2 k)! \cdot (2 n - 2 k)!}

kann man das auch schreiben als

\cos^{2} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} \cdot \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} 2 n \\ 2 k \end{array})

.

Es bleibt noch nachzuweisen, dass die innere Summe gleich

2^{2 n - 1}

ist, zumindest für

n \geq 1

(der Fall

n = 0

mit Summenwert 1 ist gesondert zu betrachten). Dabei kann der Binomische Satz helfen, angewandt auf

{(1 + 1)}^{2 n} + {(1 - 1)}^{2 n}

Lea4567 aktiv_icon

15:57 Uhr, 16.01.2023

Dankeschön! Bis dahin bin ich gerade gekommen. Meine Aufgabenstellung sagt mir, dass
Summe

k = 0

bis

n (2 n) \frac{!}{(2 k)! \cdot (2 n - 2 k)!} = 2^{2 n - 1}

ist. nun habe ich aber im Zähler meiner inneren Summe eine 1 stehen..

HAL9000

16:02 Uhr, 16.01.2023

Hast du denn nicht gesehen, wie ich das in meinem Beitrag gelöst habe? Ich habe einfach

(2 n)!

statt 1 in den Zähler geschrieben, und um das zu korrigieren vor die Summe den Faktor

\frac{1}{(2 n)!}

hingesetzt.

Lea4567 aktiv_icon

16:03 Uhr, 16.01.2023

Achso jetzt habe ich das kapiert. Danke

Lea4567 aktiv_icon

16:05 Uhr, 16.01.2023

Dann habe ich jetzt

{cos}^{2} (x)

.
Jetzt einfach mit 2 multiplizieren und 1 abziehen um zu zeigen, dass es gleich ist wie

cos (2 x)

HAL9000

16:10 Uhr, 16.01.2023

Ich wiederhole nochmal: Aufpassen! Die Formel

\sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} 2 n \\ 2 k \end{array}) = 2^{2 n - 1}

gilt nur für

n \geq 1

. Sie gilt NICHT für

n = 0

, denn dort kommt heraus

\sum_{k = 0}^{0} (\begin{array}{c} 0 \\ 2 k \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}) = 1

, während

2^{2 \cdot 0 - 1} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

ist. Das musst du beim weiteren Umformen beachten!!!

Also spalte zunächst mal Index

n = 0

ab, und dann sieh zu, wie du nach vollendeter Summandenumformung für

n \geq 1

irgendwann auch wieder zu einer Reihe mit Startindex

n = 0

kommen kannst.

Lea4567 aktiv_icon

16:21 Uhr, 16.01.2023

Gut, ich habe also die 1. Partialsumme also für

n = 0

rausgezogen, das wären

\frac{1}{2} x

. Den Rest muss ich jetzt mit 2 multiplizieren und 1 abziehen? Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch wie ich das umschreibe

HAL9000

16:29 Uhr, 16.01.2023

> Gut, ich habe also die 1. Partialsumme also für n=0 rausgezogen, das wären

\frac{1}{2} x

Der Term stimmt nicht. Sowohl die innere Summe als auch insgesamt das Reihenglied für

n = 0

sind beide gleich 1.

Lea4567 aktiv_icon

16:30 Uhr, 16.01.2023

Ups, dummer Fehler von mir

HAL9000

16:34 Uhr, 16.01.2023

Um es kurz zu machen: Basierend auf der Darstellung von

\cos^{2} (x)

in meinem Beitrag 15:50 folgt

2 \cos^{2} (x) - 1 = 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} \cdot \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} 2 n \\ 2 k \end{array}) - 1 = 2 + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} \cdot 2^{2 n - 1} - 1

= 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} {(2 x)}^{2 n} \overset{!}{=} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n)!} {(2 x)}^{2 n}

Letzteres, weil der Summand 1 exakt dem Reihengliedterm für

n = 0

entspricht.

Lea4567 aktiv_icon

16:38 Uhr, 16.01.2023

Ich habs endlich verstanden vielen dank!!

Lea4567 aktiv_icon

16:38 Uhr, 16.01.2023

Ich habs endlich verstanden vielen dank!!

HAL9000

16:46 Uhr, 16.01.2023

Aus größerem Blickwinkel betrachtet (d.h. gleich mehrere Additionstheoreme im Blick) ist es anratsamer, so vorzugehen:

1) Man zeigt für die Exponentialfunktion per Cauchyprodukt der definierenden Potenzreihe

\exp (z_{1}) \cdot \exp (z_{2}) = \exp (z_{1} + z_{2})

für alle komplexen

z_{1}, z_{2}

.

2) Ebenfalls per Exponentialreihe im Abgleich mit den Potenzreihen für Kosinus und Sinus zeigt man

\exp (i z) = \cos (z) + i \sin (z)

für alle komplexen

z

.

3) Aus 2) folgt

\cos (z) = \frac{\exp (i z) + \exp (- i z)}{2}

.

4) Hat man 1)-3), kann man beispielsweise

\cos^{2} (z) = \frac{{(\exp (i z))}^{2} + 2 \exp (i z) \exp (- i z) + {(\exp (- i z))}^{2}}{4} \overset{1)}{=} \frac{\exp (2 i z) + 2 \exp (0) + \exp (- 2 i z)}{4} \overset{3)}{=} \frac{\cos (2 z) + 1}{2}

rechnen.

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