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Cavalieri'sches Prinzip Volumensberechnung

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: Konoid, Querschnittsfläche, Zylinder, Zylinderhuf

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15:58 Uhr, 28.09.2012

Ich hätte ein paar Fragen zu Aufgaben, die das CAVALIERI'sche Prinzip betreffen.
(Dass man das Volumen eines Körpers von der integrierten Querschnittsfläche berechnen kann:

V = \int_{a}^{b} q (x) \cdot d x

Ich kann das auch gut nachvollziehen, das Beispiel mit dem Münzenstapel, der immer dasselbe Volumen besitzt, egal ob die Münzen gerade oder nicht aufgestapelt werden, ist sehr anschaulich.
Ich füge gleich am Anfang hinzu: Es ist mir nicht wichtig, dass alle Fragen auf einmal beantwortet werden, vielleicht kann ich nämlich aus der Beantwortung von einer die anderen/e lösen, und es ist ja wirklich viel auf einmal)

Jedoch kann ich aus der Querschnittsfläche das Volumen nicht RICHTIG berechnen:

1)

Konoid: Die Querschnittsfläche beträgt

h \cdot \sqrt{r^{2} - x^{2}}

Ich würde so rechnen:

π \cdot h \cdot \int_{- r}^{r} \sqrt{r^{2} - x^{2}} \cdot d x

= π \cdot h \cdot {(r^{2} - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 \cdot \frac{2}{3}

Setze ich jedoch

r

bzw.

- r

ein, komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.

HIER
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=38550&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.com%2Fimgres%3Fq%3D%2522konoid%2522%26hl%3Den%26safe%3Doff%26client%3Dopera%26hs%3DqpG%26rls%3Dde%26channel%3Dsuggest%26tbm%3Disch%26tbnid%3D9xJ6BfXqIMlZNM%3A
wird meine Frage in der ganzen Form behandelt. Muss man die Substitution

x = r \cdot sin t

anwenden? Und warum ist

x = r \cdot sin t

?

Ich schreibe hier den vollständigen Lösungsweg des vorletzten Posts auf:

\int_{0}^{r} \sqrt{r^{2} - x^{2}} \cdot d x

(Wie kommt man auf pi/2?)

x = r \cdot sin t

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{r^{2} - r^{2} \cdot {sin}^{2} t} \cdot d x

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{r^{2} \cdot (1 - {sin}^{2} t) \cdot d x}

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{r^{2} \cdot {cos}^{2} t} \cdot d x

dann geht es weiter mit

\int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos}^{2} t \cdot d t = I

meint man

π \cdot r \int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos}^{2} t \cdot d t

π \cdot r \cdot \frac{1}{2} \cdot (x + sin x + cos x) \cdot d t

45,5 \cdot r \cdot π

Das

h

fehlt

Aufg.

2)

Zylinderhuf: Querschnittsfläche

\frac{h (r^{2} - x^{2})}{2} \cdot r

Ich würde so rechnen

V = π \cdot h \cdot \frac{1}{2} r \int_{0}^{r} (r^{2} - x^{2}) = π \cdot h \cdot r^{2} \cdot \frac{x}{2 \cdot r} - \frac{x^{3}}{6 \cdot r}

π \cdot h (\frac{r^{2}}{2} - \frac{r^{3}}{2} r) = 0

falsches Ergebnis

Aufg.

3)

Zwei Drehzylinder vom gleichen Radius

r

durchdringen einander so, dass ihre Achsen einander orthogonal schneiden. Drücke die Fläche des Quadrats - Querschnittfläche und dann auch das Volumen durch

r

und

x

aus!

Ich hoffe, man kann sich die Figur vorstellen. Ein Kreuz mit Drehzylindern und wo sich die Zylinder kreuzen ist die gesuchte Fläche.

Nun ist die Querschnittsfläche

4 (r^{2} - x^{2})

V = 4 \cdot π \cdot \int_{- r}^{r} (r^{2} - x^{2})

4 \cdot π \cdot r^{2} \cdot x - \frac{x^{3}}{3}

ist auch nicht richtig!

Karin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

McMannus aktiv_icon

16:04 Uhr, 28.09.2012

Das

\frac{π}{2}

kommt durch die Substitution von

x = r \cdot sin (t)

. Nachzulesen hier: de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution

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16:12 Uhr, 28.09.2012

Danke für die Antwort und den Link.

\frac{1 + cos (2 t)}{2}

soll man laut Wikipedia nochmals substituieren! Wie?
laut dem angeführten Mathe-Forum

\int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot d t - I

= \int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos}^{2} \cdot t

ist wieder

{sin}^{2} x

oder?
Kann man eigentlich dieses Integral nicht ohne Substitution lösen? Wie ich oben versuchte?

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17:50 Uhr, 28.09.2012

Weiß irgendjemand noch einen Lösungsansatz (ev.

a

z

d

. anderen Aufgaben)?
DANKE!

prodomo aktiv_icon

08:10 Uhr, 29.09.2012

\int {sin}^{2} x \cdot d x

löst du mit zweimaliger partieller Integration. Dabei musst du am Schluss

{cos}^{2}

1 - {sin}^{2}

umformen und die Terme

{sin}^{2}

zusammenfassen.

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12:16 Uhr, 29.09.2012

Gut:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{2} x = \frac{1}{2} \cdot (x - sin (x) \cdot cos (x)) = \frac{π}{4} - 0

Wie komme ich jetzt von

\frac{π}{4}

zur richtigen Lösung

π \cdot h \cdot \frac{r^{2}}{2}

?
Die Faktoren müssten

h \cdot 2 \cdot r^{2}

sein!
Die Substitution lautete:

x = r \cdot sin t

x^{2} = r^{2} \cdot 2

und

h

als Faktor vor dem Integral würde passen. Kann man das so umsetzen?

zu Aufgabe

3)

bei der Berechnung der Querschnittfläche habe ich nun meinen Fehler entdeckt:
Ich würde auf

(r^{2} - x^{2})

kommen:

\frac{d}{2} = \sqrt{r^{2} - x^{2}} {(\frac{d}{2})}^{2} = r^{2} - x^{2}

Querschnittsfläche ist NICHT

{(\frac{d}{2})}^{2}

sondern

\frac{d^{2}}{2}

(Deswegen habe ich das oben weggelöscht)
Meine Frage: Wie berechnet man aus der Querschnittsfläche das Volumen richtig?

V = 4 \cdot π \cdot \int_{- r}^{r} (r^{2} - x^{2})

4 \cdot π \cdot r^{2} \cdot x - \frac{x^{3}}{3}

nicht richtig!

Karin

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14:44 Uhr, 29.09.2012

Ich fasse meine Frage hier nochmals kurz zusammen:

1)

Konoid: Die Querschnittsfläche beträgt

h \cdot \sqrt{r^{2} - x^{2}}

SUBSTITUTION:

x = r \cdot sin t

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{r^{2} - r^{2} \cdot {sin}^{2} t} \cdot d x

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{r^{2} \cdot (1 - {sin}^{2} t) \cdot d x}

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{r^{2} \cdot {cos}^{2} t} \cdot d x

\int_{0}^{\frac{π}{2}} ({cos}^{2} t) \cdot d t = I

\int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 \cdot d t - I

= \int_{0}^{\frac{π}{2}} {cos}^{2} \cdot t

\int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{2} x = \frac{1}{2} \cdot (x - sin (x) \cdot cos (x)) = \frac{π}{4} - 0

Wie komme ich jetzt von

\frac{π}{4}

zur richtigen Lösung

π \cdot h \cdot \frac{r^{2}}{2}

?
Die Faktoren müssten

h \cdot 2 \cdot r^{2}

sein!

Die Substitution lautete:

x = r \cdot sin t

x^{2} = r^{2} \cdot 2

und

h

als Faktor vor dem Integral würde passen. Kann man das so umsetzen?

Aufg.

2)

Zylinderhuf: Querschnittsfläche

\frac{h (r^{2} - x^{2})}{2} \cdot r

Ich würde so rechnen

V = π \cdot h \cdot \frac{1}{2} r \int_{0}^{r} (r^{2} - x^{2}) = π \cdot h \cdot r^{2} \cdot \frac{x}{2 \cdot r} - \frac{x^{3}}{6 \cdot r}

π \cdot h (\frac{r^{2}}{2} - \frac{r^{3}}{2} r) = 0

falsches Ergebnis

Aufg.

3)

Zwei Drehzylinder vom gleichen Radius

r

durchdringen einander so, dass ihre Achsen einander orthogonal schneiden. Drücke die Fläche des Quadrats - Querschnittfläche und dann auch das Volumen durch

r

und

x

aus!
Figur:Ein Kreuz mit Drehzylindern und wo sich die Zylinder kreuzen ist die gesuchte Fläche.

Nun ist die Querschnittsfläche

4 (r^{2} - x^{2})

V = 4 \cdot π \cdot \int_{- r}^{r} (r^{2} - x^{2})

4 \cdot π \cdot r^{2} \cdot x - \frac{x^{3}}{3}

ist auch nicht richtig!

Ich bitte um Hilfe!
Karin

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