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Cesaro-Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Cauchy Folge, Cesaro Limes, Folgen und Reihen, Grenzwert, Konvergenz, lim

btom1994 aktiv_icon

18:01 Uhr, 26.12.2016

Hallo,
sei ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ eine reelle Zahlenfolge und ${(c_{n})}_{n \geq 1}$ die Folge der arithmetischen Mittel $c_{n} := \frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}}{n}$ .
Beweise: Konvergiert ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ gegen $a \in ℝ,$ so konergiert auch ${(c_{n})}_{n \geq 1}$ gegen $a \in ℝ$ .
Ich hab so angefangen:
Da ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ konvergiert ist ${(a_{n})}_{n \geq 1}$ eine Cauchy-Folge. $D . h$ . $\forall ε > 0 \exists n_{0} \in ℕ \forall n, k \geq n_{0} : | a_{n} - a_{k} | < ε$ .
$\Rightarrow | lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n_{o}} (a_{i} - a) | = 0$

Und jetzt komm ich nicht mehr weiter. Hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

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DrBoogie aktiv_icon

18:33 Uhr, 26.12.2016

Seit Ihr alle im Google gesperrt?
Jeden Monat fragt irgendjemand danach.
Dabei steht der Beweis sogar in Wikipedia:
de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Grenzwertsatz

btom1994 aktiv_icon

18:37 Uhr, 26.12.2016

Ja den hab ich schon gesehen, aber ich verstehe den Beweis nicht und ich will ihn nicht einfach abschreiben.

DrBoogie aktiv_icon

21:10 Uhr, 26.12.2016

"aber ich verstehe den Beweis nicht"

Dann frag konkret.
Es gibt keinen einfacheren Beweis.

btom1994 aktiv_icon

11:01 Uhr, 27.12.2016

Ich verstehe den Schluss nicht ganz. Woher kommt dieses $\frac{(n - N) \cdot ε}{2 n}$ ?Und woher weiß ich, dass $\frac{ε}{2} + \frac{(n - N) \cdot ε}{2 n} \leq ε$ ?

DrBoogie aktiv_icon

11:17 Uhr, 27.12.2016

Du weißt, dass $∣ a_{k} - a ∣ < \frac{ε}{2}$ für $k \geq N$ ,
also kannst Du die Summe $\sum_{k = N + 1}^{n} ∣ a_{k} - a ∣$ so abschätzen:

$\sum_{k = N + 1}^{n} ∣ a_{k} - a ∣ < \sum_{k = N + 1}^{n} \frac{ε}{2} = \frac{ε}{2} \cdot (n - N)$ , denn es gibt $n - N$ Summanden in dieser Summe.
Geteilt durch $n$ ergibt
$\frac{1}{n} \sum_{k = N + 1}^{n} ∣ a_{k} - a ∣ < \frac{ε (n - N)}{2 n}$ ..

Auf die zweite Frage: $\frac{ε (n - N)}{2 n} < \frac{ε \cdot n}{2 n} = \frac{ε}{2}$ .

btom1994 aktiv_icon

11:34 Uhr, 27.12.2016

Vielen Dank hab's verstanden.

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