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Charakteristische Polynom und Eigenwert

Schüler

Tags: Aufgabe 3x3

Christian- aktiv_icon

17:39 Uhr, 15.01.2016

Hi

bei einer

2 x 2

Matrix habe ich es mit dem charakteristischen Polynom verstanden und auch die Eigenwerte konnte ich gut berechnen, weil es ein Polynom 2. Grades gewesen ist.

Wie ist es eigentlich, wenn ich eine

3 x 3

Matrix habe, und ich will erstmal das charakteristische Polynom bestimme( was ich schon kann), und dann muss ich ja die Eigenwerte dieses charakteristischen Polynoms berechnen. Aber ein Polynom 3. Grades kann ich nicht mit der pq Formel und der Mitternachtsformel lösen.

Meine Frage, gibt es ein anderes Verfahren, wie ich dann an die Nullstellen komme?
Oder muss man unbedingt Polynomdivision durchführen?

Aufgabe würde so lauten:

A = (\begin{matrix} 3 & 0 & 1 \\ - 1 & 6 & 1 \\ - 1 & 0 & 9 \end{matrix})

Als charakteristisches Polynom habe ich das hier herausbekommen:

- λ^{3} + 18 λ^{2} - 100 λ + 168 = 0

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

18:05 Uhr, 15.01.2016

Um Gleichungen dritten Grades zu berechnen gibt es die Cardinischen Formeln

\to

de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
die allerdings in der Anwendung eher unangenehm und aufwändig sind.

Sehr oft kann man sich das Leben leichter machen und du hast es dir ja schon in deinem letzten Thread zu dem Thema unnötig schwer gemacht, worauf ledum dich ja auch aufmerksam gemacht hat.

\to

Nie zu früh ausrechnen!
Hier ist es ähnlich. Ich nehme an, du hast die Determinante von

A - λ \cdot E_{3}

mit der Regel von Sarrus berechnet und bist auf

χ_{A} (λ) = (3 - λ) \cdot (6 - λ) \cdot (9 - λ) - (6 - λ)

gekommen und da könnte man erkennen, dass man

(6 - λ)

ausklammern kann. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms errechnen sich also mit

(6 - λ) \cdot [(3 - λ) \cdot (9 - λ) - 1] = 0

Der Eigenwert

λ_{1} = 6

ist unmittelbar ablesbar und die beiden anderen ergeben sich durch Nullsetzen des quadratischen Terms in den eckigen Klammern mit

λ_{2,3} = 6 \pm 2 \cdot \sqrt{2}

.

Trotzdem ist es , vor allem bei größeren Matrizen, keinesfalls immer möglich, die Eigenwerte exakt zu bestimmen und man muss häufig auf numerische Näherungsverfahren zurück greifen.

R

Christian- aktiv_icon

19:04 Uhr, 15.01.2016

Oh, verstehe. Es sind sozusagen speziell entwickelte Aufgaben, wo man solche Sachen , wie

z . B

faktorisieren beachtet sollte.

Es sind also Spezialaufgaben.

Faktorisieren erinnert mich an die 6. Klasse, wo ich das intensiv lernte. Das ist kein Problem, dann verstehe ich es .

Sehr gut soweit.

Aber eine kleine Frage bleibt noch.
Angenommen , man kann nicht faktorisieren, was wäre besser dann? Diese komische Cardinischen Formeln(werde ich lernen ) oder Polynomdivision?

Na ja, bei der Polynomdivision habe ich gelernt, dass es schwer ist die erste Nullstelle zu erraten. Man müsste sie in den Taschenrechner eingeben oder so.

Das bleibt immer ein Risiko da rumzuraten. Vielleicht hat der Taschenrechner spezielle Verfahren, wie er die erste Nullstelle bestimmt, wenn es jetzt so ein kubischen Polynom ist. Weiß ich ja nicht.... Ich hab mir einen CASIO fx-99DE PLUS gekauft für den Fall.

Mein Gehirn sagt mir, dass bei solchen Kausuren später niemals die Aufgabe so gewählt werden wird, als das man da viel rumraten muss.

D . h,

die Nullstelle muss in bereich von

- 5

bis

+ 5

sein. Aber diese Aufgabe hat es natürlich nicht. Also sollte ich mich wohl oder übel auf diese Cardinischen Formeln konzentrieren?!

Manoman, was für Wörter ich schon kann, ich freu mich, und ich habe um die

0,9 %

von deinem Gesamtwissen Roman. ;-)

Ah so, danach hake ich den thread ab XD

Roman-22

19:38 Uhr, 15.01.2016

Naja, FALLS du eine Nullstelle erraten kannst, dann wird wohl die Reduktion auf auf ein Problem zweiter Ordnung mithilfe einer Polynomdivision die Methode der Wahl sein.
Es gibt aber keine Garantie, dass es überhaupt eine ganzzahlige, mit vertretbarem Aufwand zu erratende Nullstelle gibt.
Und dann muss man es sich überlegen, ob man die Werte denn wirklich ganz genau benötigt, oder ob nicht ein hinreichend genauer Näherungswert, der mit einem numerischen Verfahren (Newton, regula falsi, Levenberg-Marquardt,...) gefunden wird, für seine Zwecke ausreicht. Und dann wird eben ein Rechenknecht darauf angesetzt.