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Charakteristisches Polynom

Schüler

Tags: Verständins

Christian- aktiv_icon

20:13 Uhr, 14.01.2016

Moin alle zusammen

Was ist ein charakteristisches Polynom?

Ich habe mir eine Definition durchgelesen->>
Das charakteristische Polynom

p

A(λ) einer quadratischen Matrix A gibt Auskunft über einige Eigenschaften der Matrix.

Was meinen die mit EIGENSCHAFT der Matrix?

Meinen die damit, ob die Matrix vielleicht invertierbar oder nicht invertierbar ist?
Wäre das eine eigenschaft?

Heißt das, dass man aus einer Matrix schaut, ob dann, wenn man diese Formel anwendet, eine spezielles Polynom herauskommt?

Und noch eine Sache: Hat das charakteristische Polynom die gleiche Bedeutung wie, Eigenwerte?

Wenn man also sagen würde ,,bestimme die Eigenwerte...!

''

Heißt es dann, dass man auch schreiben kann, bestimmte das charakteristische Polynom?

Wäre es von der Bedeutung gleich?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

01:00 Uhr, 15.01.2016

Hallo
A die Matrix
man will

A \cdot \vec{x} = r \cdot \vec{x}

bestimmen, dann heisst

x

Feigenvektor zur Abbildung

A r

der zugehörige eigenwert.
Dann schreibt man das um in Ax-E*r*x=0
damt diese Gleichung eine Lösung hat muss die

det

von (A-rE)

= 0

sein das gibt ein Polynom=0 in

r

das man charakteristisches Polynom für A nennt, die Nullstellen sind die Eigenwerte
also bestimme die Eigenwerte.. heisst bestimme die Nullstellen des char. Polynoms.
Gruß ledum

Christian- aktiv_icon

01:56 Uhr, 15.01.2016

Hei ledum
so liebe ich dich, sehr gut gemacht. Formel ist da und jetzt habe ich es auch auf anhieb verstanden.

Zur Kontrolle löse ich mal eine

2 x 2

Matrix.

A = (\begin{matrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Jetzt gibt es ja die Formel für das charakteristische Polynom

x_{p} (λ) = det (λ E_{n} - E) = det ((\begin{matrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}))

Ich schreibe das mal um sonst muss ich überall Minus setzen.
Die Regel von Sarrus habe ich mir auch beigebracht, ist halt nur bei

2 x 2

und

3 x 3

Matrizen anwendbar

det (A - λ E) \cdot | [\begin{matrix} 3 - λ & 2 \\ 0 & 1 - λ \end{matrix}]

Überkreuzt Multiplizieren

(3 - λ) (1 - λ) - 0 \cdot 2 = (3 - λ) (1 - λ)

\Rightarrow 3 - 3 λ - λ + λ^{2} = λ^{2} - 4 λ + 3

Jetzt habe ich ein charakteristisches Polynom 2. Grades heraus.

Ich kann jetzt hier die PQ Formel oder die Mitternachtsformel anwenden, um die Eigenwerte der Matrix zu bestimmen. Die Eigenwerte sind quasi die Nullstellen.
Ich nehme mal die Mitternachtsformel, weil die so schön kompliziert aussieht xDD

λ_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 \cdot a}

λ_{1,2} = \frac{+ 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}

\frac{4 + 2}{2} = λ_{1}

λ_{1} = 3

\frac{4 - 2}{2} = λ_{2}

λ_{2} = 1

Das wären die Eigenwerte der Matrix.
Stimmt das so ledum?
Ich bin glücklich, dass du mir so hilfst, so verstehe ich die zusammenhänge

89 %

besser.

ledum aktiv_icon

13:14 Uhr, 15.01.2016

Hallo Christian
richtig gelöst.
nur nächstes mal wenn du so was wie

(x - 1) \cdot (x - 3) = 0

hast nicht erst ausmltplzieren und pq sondern ein Produkt ist

0,

wenn einer der Faktoren 0 ist! also direkt

x - 1 = 0

und

x - 3 = 0

Gruß ledum

Christian- aktiv_icon

17:14 Uhr, 15.01.2016

Ja, werde ich mir merken, danke!

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