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Charakterisierung Zyklische Gruppen
Universität / Fachhochschule
Algebraische Zahlentheorie
Tags: Algebra, Algebraische Zahlentheorie, Gruppen, Untergruppen, zyklische Gruppe
 
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Aufgabe Es sei eine Gruppe. Angenommen besitzt eine echte Untergruppe die jede andere echte Untergruppe von enthält. Zeigen Sie, dass dann zyklisch ist und die Ordnung von eine Primpotenz. Hallo zusammen, ich bräuchte bitte einmal dringend Hilfe bei der oben angegeben Aufgabe. Habe da heute und gestern schon die ein oder andere Minute dran gesessen und bekomme einfach nicht den nötigen Geistesblitz. Und zwar habe ich mir bereits folgendes überlegt: Die Tatsache, dass es eine größte echte Teilgruppe heißt ja, dass ist. Wieso sagt mir das aber nun, dass sodass die gesamte Gruppe erzeugt? (Definition einer zyklischen Gruppe) Zum zweiten Teil habe ich bisher noch keinen richtigen Zugang gefunden. Vielen Dank im Voraus!! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, sei . Die Potenzen von erzeugen eine zyklische Gruppe . Diese ist entweder in enthalten, da jede echte Untergruppe von enthält oder ganz . Da , kann sie nicht in enthalten sein, also ist . Die Primzahlpotenzaussage schaue ich mir später an. Gruß ermanus |
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Hi, vielen Dank für deine Antwort. Auf den ersten Teil bin ich in der Zwischenzeit tatsächlich so gut wie selbst gekommen, allerdings sehe ich beim zweiten Teil der Aufgabe weiterhin nicht wie ich das hinbekomme. Ich wäre dir also sehr dankbar wenn du später nochmal drüber schauen könntest. Bisher habe ich mir überlegt, dass die Ordnung von ja auf jeden Fall die Ordnung von teilen muss. Wie mir die Tatsache, dass die einzige maximale Untergruppe ist, dabei hilft zu zeigen dass ord(G) nur aus Primzahlpotenzen bestehen kann, ist mir (bisher) noch schleierhaft. Schöne Grüße, ichbinteich |
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Hi, vielen Dank für deine Antwort. Auf den ersten Teil bin ich in der Zwischenzeit tatsächlich so gut wie selbst gekommen, allerdings sehe ich beim zweiten Teil der Aufgabe weiterhin nicht wie ich das hinbekomme. Ich wäre dir also sehr dankbar wenn du später nochmal drüber schauen könntest. Bisher habe ich mir überlegt, dass die Ordnung von ja auf jeden Fall die Ordnung von teilen muss. Wie mir die Tatsache, dass die einzige maximale Untergruppe ist, dabei hilft zu zeigen dass ord(G) nur aus Primzahlpotenzen bestehen kann, ist mir (bisher) noch schleierhaft. Schöne Grüße, ichbinteich |
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Deine maximale Untergruppe heißt doch oder? Nun zur Primzahlpotenz. Es bezeichne den Index einer Untergruppe in , d.h. die Anzahl der Nebenklassen von nach . Nun seien zwei Primteiler von . Wir betrachten die beiden zyklischen Untergruppen und , die also von bzw erzeugt werden. Dann ist offenbar und . Für soll nach Voraussetzung gelten: und . Damit haben wir einerseits und andererseits . Da nun ist ( ist echte Untergruppe von ), folgt: . Gruß ermanus |
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" Damit haben wir einerseits " Habe alles soweit verstanden, bis auf diese Zeile. (Sorry fürs nerven, scheine heute Abend ein wenig schwer von Begriff zu sein :-) ) Was genau machst du da? Wie kommst du darauf dass dabei herauskommt? |
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Vergiss das. Hab's durchschaut. Vielen vielen Dank für deine Hilfe, bist meine Rettung! |
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