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Charakterisierung von Teilmengen der C[0,1]
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: Funktionalanalysis
 
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Hallo zusammen, bin ein wenig ratlos bei folgenden Problemstellungen: Es wird jeweils der Raum der stetigen Funktionen auf dem Intervall mit der Maximumsnorm betrachtet. Eine Teilmenge ist die Menge aller Konstanten Funktionen (auf0,1]), es soll entschieden werden, ob offen, abgeschlossen, sowohl . als auch abg., oder weder . noch abg. ist. Hierzu meine Überlegung: Die Menge dürfte abgeschlossen sein, da ihr Komplement offen ist: Denn sei aus nicht konstant (jedoch beliebig nach an einer konstanten Fkt.) dann dürfte doch ein Epsilon gefunden werden, sodass alle Funktionen dieser Epsilon Umgebung ebenfalls nicht konstant sind (etwa durch Epsilon=sup (g) inf(g) ) Sie ist nicht offen, da sich in jeder noch so kleinen Umgebung einer konstanten Fkt. vor allem nicht konstante Fkten befinden und daher keine Umgebung existiert, welche eine Teilmenge von ist. Die zweite Teilmenge ist die Menge der Polynome auf . Ich würde sagen, dass diese Menge nicht offen ist, aufgrund . der Taylorpolynome von oder e-Funktionen, welche auf dem kleinen Intervall beliebig genau werden, oder? Gleiches Argument würde ich dann beim dem Komplement der Menge vorbringen... Daher ist die Menge weder abgeschlossen, noch offen?? Würd mich freuen, wenn hier jemand etwas Licht ins Dunkel bringen könnte :-) |
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"Die Menge dürfte abgeschlossen sein, da ihr Komplement offen ist: Denn sei aus nicht konstant (jedoch beliebig nach an einer konstanten Fkt.) dann dürfte doch ein Epsilon gefunden werden, sodass alle Funktionen dieser Epsilon Umgebung ebenfalls nicht konstant sind (etwa durch Epsilon=sup (g) inf(g) )" Die Argumentation ist nicht ganz sauber, aber die Idee ist richtig. "Sie ist nicht offen, da sich in jeder noch so kleinen Umgebung einer konstanten Fkt. vor allem nicht konstante Fkten befinden und daher keine Umgebung existiert, welche eine Teilmenge von ist." Richtig. "Ich würde sagen, dass diese Menge nicht offen ist, aufgrund . der Taylorpolynome von oder e-Funktionen, welche auf dem kleinen Intervall beliebig genau werden, oder?" Diese Argumentation zeigt, dass die Menge nicht abgeschlossen ist. Für "nicht offen" muss man anders argumentieren (das geht aber einfach). |
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Angenommen wäre offen, dann müsste es für jedes Element der Menge eine Umgebung geben, in der sich nur Polynome befinden. Reicht es nicht das gleiche Argument mit den Taylorpolynomen rückwärts anzuwenden? |
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Zu Sei eine nicht konstante stetige Funktion auf dann existiert ein aus0,1]} und ein aus0,1]}. Wähle Epsilon so, dass Epsilon +Epsilon Epsilon Die Epsilon Umgebung von ist im Komplement von enthalten. Wäre es so korrekt? |
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"Angenommen M2 wäre offen, dann müsste es für jedes Element der Menge eine Umgebung geben, in der sich nur Polynome befinden. Reicht es nicht das gleiche Argument mit den Taylorpolynomen rückwärts anzuwenden?" Zu kompliziert. Addiere einfach zu dem Polynom eine kleine stetige Funktion, die kein Polynom ist. Z.B. irgendwas zickzack-artiges. |
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Korrekt, nur ist es bei Dir mal f, mal g, das ist etwas verwirrend. :-) |
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Ok richtig an Zickzack Funktionen hatt ich gar nicht gedacht :-D) Entschuldige die Verwirrung ;-) Hast mir gut geholfen, vielen Dank. |
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ja...f und weiß ich auch nicht weshalb ich plötzlich zwei variablen gebraucht hatte..;-) |
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