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anonymous

anonymous

19:23 Uhr, 17.01.2020

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Hallo, ich habe ein paar Fragen zur Charakteristik, die bei uns folgendermaßen eingeführt wurde:


Sei R ein Ring mit 1. Es gibt einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus j= jR : Z→ R mit j(1)=1R
Dieser ist gegeben durch die Vorschrift j(n):= n·1R.
Hierbei ist 1RR,nZ
j ist ein Homomorphismus von Gruppen, d.h. es gilt
j(n+m)=j(n)+j(m).
Um zu zeigen, dass j(mn) =j(m)j(n), muss man das Distributivgesetz verwenden. Die genaue Rechtfertigung ist etwas länglich und unterbleibt hier

-- Warum ? Funktioniert das hier nicht genau wie bei der Addition, also j(nm)=j(n)j(m)

Sei nun K ein Körper, und betrachte den eben diskutierten Ringhomomorphismus
j= jK : Z→ K.
Wir unterscheiden jetzt zwei Fälle:
entweder j ist injektiv, oder j ist nicht injektiv.

Sei K ein Körper und jK sei injektiv. Dann kann j zu einem Körperhomomorphismus ˜j :QK fortgesetzt werden, welcher automatisch injektiv ist.
-- Wie kann ich mir das vorstellen ? Wie setze ich etwas fort ?
Der Unterkörper ˜ j(Q)K ist isomorph zu Q.
----->Warum ? Also es ist ja klar, dass wenn ich in die Abbildung eine Zahl aus Q einsetze, diese multipliziert mit der 1 rauskommt und weil wir in einem Körper sind, ist es genau diese Zahl ? - Ist das die Antwort? Wäre die Abbildung nicht dann sogar bijektiv ?
Der Unterkörper˜ j(Q) ist der kleinste Unterkörper von K und heißt Primkörper von K. Wir sagen auch, dass K die Charakteristik 0 hat; char(K) =0.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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