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Charakteristik einer DGL

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Charakteristik, Partielle Differentialgleichungen

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17:04 Uhr, 04.03.2010

Hallo liebe Gemeinde,

folgende Frage brennt mir auf dem Herzen:

Wenn ich zu einer beliebigen DGL

F (y)

eine Charakteristik in der Form

y = φ (f (x_{1}, ... x_{n}))

berechnet habe

(z . B

y = φ (x_{1}^{2} - 2 \cdot x_{2}))

dann sollen laut allen Lehrbüchern dieser Welt beliebige Funktionen

φ

eine Lösung entlang der Charakteristik darstellen.

Wäre damit dann

y = φ (f (x_{1}, ... x_{n})) = 1 \cdot f (x_{1}, ... x_{n})

eine Lösung der DGL die ich zum Rechnen weiter verwenden kann?

Also entsprechend dem obigen Beispiel:

F(y)=DGL(y)

\Rightarrow y = φ (x_{1}^{2} - 2 \cdot x_{2}) \Rightarrow y = 1 \cdot (x_{1}^{2} - 2 \cdot x_{2})

eine Lösung?

Danke

+

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

johannes2010 aktiv_icon

17:10 Uhr, 04.03.2010

Die Funktion

φ

hat doch im Argument die Funktion

f

,oder!?
z.B.

\dot{x} = A x \Rightarrow x = e^{A (t - t_{0})} x_{0} = φ (t, t_{0}, x_{0})

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17:50 Uhr, 04.03.2010

Genau, die Funktion

φ

stellt nur die beliebige Funktion dar, während

f (x_{1}, ..., x_{n})

eine wirkliche Funktion darstellt

johannes2010 aktiv_icon

17:53 Uhr, 04.03.2010

φ

ist doch nicht beliebig!!sonst könnte ich doch auch sagen,

e^{A (t - t_{0})} x_{0} = 1 \forall t > 0

geht natürlich nur für

A = 0

und

x_{0} = 1

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17:56 Uhr, 04.03.2010

Nehmen wir folgendes Beispiel:

Bestimme die allgemeine Lösung der partiellen Rumpf-DGL:

x \cdot z \cdot u_{x} + u_{y} + y \cdot u_{z}

Führt auf die Charakteristiken:

z - \frac{y^{2}}{2}, x \cdot e^{\frac{y^{3}}{2} - y \cdot z}

Also wird die Lösung durch eine beliebige Funktion

φ (z - \frac{y^{2}}{2}, x \cdot e^{\frac{y^{3}}{2} - y \cdot z})

beschrieben.

Die Frage nun:

ist

1 \cdot (z - \frac{y^{2}}{2} + x \cdot e^{\frac{y^{3}}{2} - y \cdot z})

eine (wohl die einfachste) Lösung?

Danke

+

Gruß

johannes2010 aktiv_icon

18:01 Uhr, 04.03.2010

Setz es doch mal ein

\Rightarrow

Nein

johannes2010 aktiv_icon

18:09 Uhr, 04.03.2010

Meiner Meinung nach kann die Funktion

φ (x, y, z)

mit

φ (f_{1} (x, y, z), f_{2} (x, y, z))

dargestellt werden.
Hier:

f_{1} (x, y, z) = z - y^{2} / 2 = f_{1} (y, z)

und

f_{2} (x, y, z) = x e^{y^{2} / 3 - y z}

Soll heißen: Jede Lsg. (auch wenn man sie nicht kennt) hat

f_{1}

und

f_{2}

als Argument.

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18:16 Uhr, 04.03.2010

Okay macht Sinn. Die allgemeine Lösung wäre damit

φ (f_{1} (y, z), f_{2} (x, y, z))

.

Eine bestimmte Lsg. würde man dann durch ein AWP definiert bekommen?

johannes2010 aktiv_icon

18:25 Uhr, 04.03.2010

AWP und Randbedingungen

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18:31 Uhr, 04.03.2010

Gut danke! Macht die Sache zwar nicht so einfach wie ich sie gerne hätte aber paßt.
Ist ein bisschen her mit den DGL bei mir, muß alles wieder auffrischen.

Danke

+

Gruß

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