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Charakteristische Funktion mit L^p norm annähern

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Tags: Funktion, Grenzwert, Maßtheorie

 
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Mathematiker-12

Mathematiker-12 aktiv_icon

07:41 Uhr, 20.11.2020

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Hallo Leute

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe.

Beim a.) habe ich nun mal die Funktion mit fn 1 if x[1n,1-1n] und 0 sonst.
ist dies Korrekt?

Wie könnte nun eine Funktion in b.) und c.) definiert sein?

sheet_9_3

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

08:50 Uhr, 20.11.2020

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Was ist Tc?

Bei b) kann man stückweise lineare Funktionen nehmen: 1 auf [1/n,1-1/n], 0 außerhalb von [-1/n,1+1/n] und linear auf [-1/n,1/n] und [1-1/n,1+1/n] so, dass Funktion stetig ist.

Bei c) dasselbe wie in b), nur in den Verbindungspunkten "glätten". Es ist elementar diese Funktionen zu zeichen und recht unangenehm, dafür Formeln zu schreiben. :(
Mathematiker-12

Mathematiker-12 aktiv_icon

09:01 Uhr, 20.11.2020

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Dies sind monoton wachsende Treppenfunktionen

Ja gezeichnet habe ich sie alle. Aber definieren ist nicht ganz so trivial.
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

09:21 Uhr, 20.11.2020

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"Aber definieren ist nicht ganz so trivial."

Und auch absolut unnötig, aus meiner Sicht.
Aber wenn es sein muss:
eine C1-Annäherung "links" wird durch
0.5n4(x+1/n)2(x-1/n)2 für x[-1/n,0] und
0.5+0.5n4x2(x-2/n)2 für x[0,1/n]
und analog "rechts".
Frage beantwortet
Mathematiker-12

Mathematiker-12 aktiv_icon

09:22 Uhr, 20.11.2020

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Ich danke dir ganz Herzlich.