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Charakteristisches Polynom

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentialgleichung, gewöhnlich

Sanniiii aktiv_icon

20:02 Uhr, 19.02.2024

Hallo,

meine Frage ist, was hier von dieser Funktion (siehe Bild) das charakteristische Polynom ist. Die analytische Lösung davon ist

y (t) = t + e^{- 3 t}

und in der Lösung ist der Hinweis, dass man dies mit dem charakteristischen Polynom und mit dem Ansatz vom Typ der rechten Seite lösen kann, ich komme mir leider aber nicht darauf, wie man davon das charakteristische Polynom rechnet.

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

21:18 Uhr, 19.02.2024

Hallo,

ok, dies ist keine lineare DGL.

Ich (!) würde die DGL wie folgt umformen:

y ʹ = - 3 y + 1 + 3 t \overset{}{\Leftrightarrow} y ʹ + 3 y = 3 t + 1 \overset{}{\Leftrightarrow} y ʹ \cdot e^{3 t} + y \cdot e^{3 t} \cdot 3 = (3 t + 1) e^{3 t}

Ich erkenne im Term (links)

y ʹ \cdot e^{3 t} + y \cdot e^{3 t} \cdot 3

die Ableitung von

z = y \cdot e^{3 t}

. (Rechne nach per Produktregel!)

Rechts ist

(3 t + 1) e^{3 t} = t \cdot e^{3 t} \cdot 3 + 1 \cdot e^{3 t}

ebenfalls gemäß Produktregel die Ableitung von

t \cdot e^{3 t}

.

Damit ist die Ausgangs-DGL äquivalent zu

{(y \cdot e^{3 t})}^{ʹ} = {(t \cdot e^{3 t})}^{ʹ}

.

Daraus folgt direkt, dass

y \cdot e^{3 t} = t \cdot e^{3 t} + c

gilt.
Durch Multiplikation mit

e^{- 3 t}

gelangst du zu der Lösungsaögemeinheit

y = c \cdot e^{- 3 t} + t

.
Aus der Anfangsbedingung folgt

c = 1

.

Ich betone aber, dass dies nicht der durch den Hinweis vorgezeichnete Lösungsweg ist.

Mfg Michael

pivot aktiv_icon

23:44 Uhr, 19.02.2024

Hallo,

die homogene Differentialgleichung ist

y^{ʹ} + 3 y = 0

Für die charakteristische Gleichung wird

y^{(k)}

durch

λ^{k}

substituiert. Dabei steht (k) für die k-te Ableitung und

k

für Grad der Potenz. Dabei ist

y = y^{(0)}

.

Also ist die charakteristische Gleichung

λ + 3 = 0

, mit der Lösung

λ = - 3

. Somit ist die homogene Lösung

y_{H} = C \cdot e^{- 3 t}

Die rechte Seite ist ein Polynom ersten Grades (lineare Funktion). Also ist das Störglied

y_{I} = B_{1} t + B_{0}

. Ableitung:

y_{I}^{ʹ} = B_{1}

In die (inhomogene) DGL einsetzen:

B_{1} + 3 B_{1} t + 3 B_{0} = 3 t + 1

Koeffizientenvergleich:

3 B_{1} = 3 \Rightarrow B_{1} = 1

B_{1} + 3 B_{0} = 1 \Rightarrow B_{0} = 0

. Also ist die inhomogene Lösung

y_{I} = t

. Somit ist die Lösung ohne Berücksichtigung der Anfangsbedingung

y (t) = C \cdot e^{- 3 t} + t

Gruß
pivot

Sanniiii aktiv_icon

11:51 Uhr, 21.02.2024

Danke dir !

Sanniiii aktiv_icon

11:52 Uhr, 21.02.2024

Danke dir!

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