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Charakteristisches Polynom, Eigenwert von Endom.

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Eigenwerte

Tags: Charakteristisches Polynom, Eigenwert, Endomorphismus

Briggehossler aktiv_icon

15:28 Uhr, 22.04.2017

Hallo zusammen,

ich hänge zur Zeit an einer eigentlich einfachen Aufgabe:

Berechnen Sie das charakteristische Polynom und die Eigenwerte des Endomorphismus:

fA:

V \to V, X \to A \cdot X,

wobei V=Mat2x2(

ℝ)

der

ℝ

-Vektorraum der 2x2-Matrizen über

ℝ

ist und fA die Links-Multiplikation mit der Matrix

A = (\begin{matrix} 12 \\ 01 \end{matrix})

bezeichnet.

Um das charakteristische Polynom zu bestimmen muss ich eine Darstellungsmatrix erstellen aber wie mache ich das am besten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

ledum aktiv_icon

16:16 Uhr, 22.04.2017

nimm die 4 Standardeinheitsvektoren als Basis und bestimme ihre Bilder.
Gruß ledum

Briggehossler aktiv_icon

18:55 Uhr, 22.04.2017

Okay also die 4 Standardvektoren sind:

e 1 = (\begin{matrix} 10 \\ 00 \end{matrix})

e 2 = (\begin{matrix} 01 \\ 00 \end{matrix})

e 3 = (\begin{matrix} 00 \\ 10 \end{matrix})

e 4 = (\begin{matrix} 00 \\ 01 \end{matrix})

So und dann hänge ich gerade .. wie soll ich davon die Bilder bestimmten?
LG Briggehossler und Danke

ledum aktiv_icon

21:41 Uhr, 22.04.2017

das steht doch da

f (e_{i}) = A \cdot e_{i}

Gruß ledum

Briggehossler aktiv_icon

22:33 Uhr, 22.04.2017

Okay hab ich mir auch überlebt war dann aber verwirrt weil bei 2 das gleiche raus kommt wie bei den Standardvektoren.
Also habe heraus:

f (e 1) = (\begin{matrix} 10 \\ 00 \end{matrix})

f (e 2) = (\begin{matrix} 01 \\ 00 \end{matrix})

f (e 3) = (\begin{matrix} 20 \\ 10 \end{matrix})

f (e 4) = (\begin{matrix} 02 \\ 01 \end{matrix})

Wäre das so richtig?
Und wie muss ich dann weiter machen?
LG Briggehossler

ledum aktiv_icon

19:33 Uhr, 23.04.2017

Hallo
bisher alles richtig, aber du schreibst besser

f (e 1) = e 1 + 0 \cdot e 2 + 0 \cdot e 3 + 0 \cdot e 4;

f (e 2) = e 2,

f (e 3) = 2 e 1 + 2 e 3

f (e 4) = 2 e 2 + e 3

(Nullen einfügen)
damit hast du die Komponenten der Bilder.
die Spalten der Abbildungsmatrix sind jetzt die Komponenten der Bilder, also erste Spalte

{(1,0,0,0)}^{T}

letzte Spalte

(0,2,0,1)

usw.
davon kannst du dann das char, Polynom bestimmen , egal was der VR ist, die spalten der Matrix sind die Komponenten der Bilder der Basisvektoren.
(wenn du unsicher bist zum Überprüfen empfehle ich : rechneronline.de/lineare-algebra/matrizen.php
Gruß ledum

Briggehossler aktiv_icon

21:48 Uhr, 23.04.2017

Erst Mal vielen Dank dafür!
Also ich habe jetzt die Darstellungsmatrix M(fA)=

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{matrix}) = : A

und davon will ich dann das charakteristische Polynom bestimmen:

(Ξ) =

det(t*En-A)=

(\begin{matrix} t - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t - 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 0 & t - 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 & t - 1 \end{matrix}) = {(t - 1)}^{4}

Also ist der Eigenwert 1.
Wäre das so richtig?

LG Briggehossler

ledum aktiv_icon

22:29 Uhr, 23.04.2017

Hallo
du hast die Matrix falsch geschrieben, ich hatte doch Spalten geschrieben, du nimmst Zeilen!
also deine erste Zeile = erste Spalte usw. ich glaub, es macht für die Det, nichts aus, aber die Matrix sollte richtig sein.
dein 4 fache EW ist richtig, dass

e 1

und

e 2

Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind weisst du ja schon.
Gruß ledum

Briggehossler aktiv_icon

22:39 Uhr, 23.04.2017

Hallo

oh Mist hab ich um die Uhrzeit wahrscheinlich überlesen.. Habe es aber verbessert und es hat nichts an der Determinante geändert.
Vielen vielen Dank dafür!:-)

LG Briggehossler

ledum aktiv_icon

12:26 Uhr, 24.04.2017

Bitte abhaken!
Gruß ledum

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