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Charakteristisches Polynom (Terme zusammenfassen)

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Charakteristisches Polynom, Lambda, Term

ChristinMa aktiv_icon

16:05 Uhr, 05.06.2011

Hallo,

ich habe wieder mal eine Frage.

Mit dem Laplace´schen Entwicklungssatz habe ich die

det A

für eine 4x4-Matrix berechnet und am Ende das herausbekommen:

(1 - λ)

∙

((0.6 - λ)

∙

(0.1 - λ)

∙

(- λ) + (0.95

∙

0.4

∙

0.9)

–

(0.9

∙

0.05

∙

(0.6 - λ)))

Und dann habe ich wie folgt versucht zusammenzufassen:

(1 - λ)

∙

((0.6 - λ)

∙

(0.1 - λ)

∙

(- λ) + (0,342) - (0.9

∙

0.05

∙

(0.6 - λ)))

= (1 - λ)

∙

((0.6 - λ)

∙

(0.1 - λ)

∙

(- λ) + (0,342) - (0.045 \cdot (0.6 - λ))

= (1 - λ)

∙

((0.6 - λ)

∙

(0.1 - λ)

∙

(- λ) + (0.342) - (0.045 λ \cdot 0.027)

= (1 - λ) \cdot ((- λ^{3} + 0.6 λ^{2} + 0.1 λ^{2} - 0.06 λ) + 0.342 + (0.045 λ \cdot 0.027))

= (1 - λ) \cdot ((- λ^{3} + 0.7 λ^{2} - 0.06 λ) + 0.342 + 0.0001215 λ)

= (1 - λ) \cdot ((- λ^{3} + 0.7 λ^{2} - 0.06 λ) + 0.343215 λ)

So, und spätestens hier hatte ich das Gefühl, dass irgendetwas nicht stimmen kann und ich bin auch leider nicht so begabt darin Terme zusammenfassen zu können oder vereinfachen zu können, deswegen wäre es toll, wenn mir jemand sagen könnte wo der Fehler hier liegt.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Rechnen mit Klammern
Terme aufstellen und gliedern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

Matheboss aktiv_icon

18:54 Uhr, 05.06.2011

3.Zeile am Ende falsch ausmultipliziert

... ... ... . + 0,342 - (0,045 \cdot (0,6 - λ))) =

... ... ... . + 0,342 - 0,027 + 0,045 \cdot λ))) =

(1 - λ) \cdot (- λ^{3} + 0,7 \cdot λ^{2} - 0,015 \cdot λ + 0,315)

ChristinMa aktiv_icon

18:56 Uhr, 05.06.2011

So, ich habe nochmal einen anderen Ansatz ausprobiert:

(1 - λ) \cdot ((0.6 - λ) \cdot (0.1 - λ) \cdot (λ) + (0.95 \cdot 0.4 \cdot 0.9) - (0.9 \cdot 0.5 \cdot (0.6 - λ)))

Zuerst habe ich diesen Term zusammengefasst

(0.95 \cdot 0.4 \cdot 0.9) :

(1 - λ) \cdot ((0.6 - λ) \cdot (0.1 - λ) \cdot (λ) + (0.342) - (0.9 \cdot 0.5 \cdot (0.6 - λ)))

Dann habe ich diesen Term zusammengefasst

(0.9 \cdot 0.5 \cdot (0.6 - λ)) :

(1 - λ) \cdot ((0.6 - λ) \cdot (0.1 - λ) \cdot (λ) + (0.342) - (0.27 - 0.45 λ)

Dann habe ich diesen Term

(0.342) - (0.27 - 0.45 λ)

zusammengefasst:

(1 - λ) \cdot ((0.6 - λ) \cdot (0.1 - λ) \cdot (λ) + (0.054 - 0.45 λ)

Auf mich wirkt das immer noch so falsch alles und ich weiß aber hier auch wieder nicht weiter.

Bitte helft mir.

Matheboss aktiv_icon

19:02 Uhr, 05.06.2011

Oben in Deiner Angabe steht

0.9 \cdot 0,05,

was stimmt jetzt?
Hier schreibst Du

0,9 \cdot 0,5!

ChristinMa aktiv_icon

19:04 Uhr, 05.06.2011

0.05

ist richtig. Ich weiß auch nicht. Sitze wohl schon zu lange an der Aufgabe

: (

Matheboss aktiv_icon

19:06 Uhr, 05.06.2011

Dann nimm meinen obigen Vorschlag.
Kommst Du mit der obigen Hilfe jetzt klar, was ich oben gepostet habe?
Endergebnis habe ich mit "mathcad" überprüft.

Und ich habe mich auch vertippt, aber es ist jetzt ausgebessert!
Es muss am Ende

0,315

heißen!

ChristinMa aktiv_icon

19:12 Uhr, 05.06.2011

Ja, ich denke damit sollte ich gut zurechtkommen, danke dir.

Eine Frage habe ich aber noch: wenn ich am Ende die ((0.6-\lambda)*(0.1-\lambda)*(\lambda)mit

(0.342) -

(0.27-0.45\lambda)zusammengefasst habe, dann muss ich doch noch

(1 - λ)

in diesen Term reinmultiplizieren?

Und darf ich die

0.342 - 0.027 + 0.045 λ

einfach zu

0.324 λ

zusammenziehen?

Matheboss aktiv_icon

19:24 Uhr, 05.06.2011

Ob Du noch ausmultiplizieren musst, hängt von der Aufgabenstellung ab. Wenn es nur vereinfachen heißt, genügt es, sonst nochmal ausmultiplizieren!!
Ich poste Dir jetzt den Rest ab der 3.Zeile

= (1 - λ) \cdot (- λ^{3} + 0,7 \cdot λ^{2} - 0,06 \cdot λ + 0,342 - 0,027 + 0,045 \cdot λ) =

(1 - λ) \cdot (- λ^{3} + 0,7 \cdot λ^{2} - 0,015 \cdot λ + 0,315)

Für Endergenis der Matrix würde ich es so lassen!

ChristinMa aktiv_icon

19:38 Uhr, 05.06.2011

Ich danke dir.

Wenn ich aber den Term

(1 - λ)

noch einmultiplizieren muss, dann muss ich ihn doch mit jedem

λ

und dessen Faktor multiplizieren oder?

Denn ich brauche die

(1 - λ)

in dem anderen Term.

Es gibt keine Aufgabenstellung, außer die Eigenwerte berechnen zu müssen und ich glaube, dass geht doch nur, wenn ich den

(1 - λ)

-Term mit dem anderen Term mulitpliziere oder?

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