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Charakteristisches Polynom berechnen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Eigenwerte

Tags: Charakteristisches Polynom, Eigenwert

Malbersa aktiv_icon

21:57 Uhr, 19.08.2019

Hallo,

ich sitze hier vor einem bestimmten charakteristischen Polynom. Leider habe ich vom Übungsleiter nur die Lösung bekommen. Ich wüsste gernen den idealen Lösungsweg, bzw. das allgemeine Vorgehen. Die Aufgabenstellung samt Lösung habe ich anhgehängt.

Ich hänge also daran, wie ich die Eigenwerte der Matrix bestimme. Nach Aufstellen des charakteristischen Polynoms zu:

{(1 - λ)}^{2} (101 - λ) - 100 (1 - λ) = 0

konnte ich den ersten Eigenwert

λ = 1

leicht bestimmen.
Der nächste Schritt wäre für mich, die Gleichung so umzuformen, dass ich eine Polynomdivision durchführen kann. Erstens war das Ausmultiplizieren recht aufwendig, zweitens habe ich nicht die richtigen Ergebnisse herausbekommen.

Dann ist mir aufgefallen, dass ich den Term so wie oben aufgestellt, ja einfach durch

(λ - 1)

teilen könnte. Ergebnis war also:

\frac{{(1 - λ)}^{2} (101 - λ) - 100 (1 - λ)}{λ - 1} = (λ - 1) (101 - λ) + 100

Der restliche Term ausmultipliziert würde ja mit pq/abc-Formel meine restlichen beiden Eigenwerte ergeben. Leider komme ich auch hier nicht auf die angegebenen Ergebnisse:

λ_{2,3} = 56 \pm

Wurzel(

56^{2} - 1)

Welchen Weg schlagt ihr vor? Mich interessiert das unkomplizierteste und schnellste Vorgehen bei dem Problem.
Habe ich beim Teilen zuletzt einen Fehler gemacht?

Ich komme auf:

λ_{1} = 1

λ_{2} = 111,99

λ_{3} = 0,008929

ausgehend von:

(λ - 1) (101 - λ) + 100 = 0

Ist das korrekt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

pivot aktiv_icon

22:30 Uhr, 19.08.2019

Hallo,

ich habe jetzt keinen effizienteren Vorschlag. Der erste Wert ist richtig.

Es ist

(1 - λ) \cdot (101 - λ) - 100 = λ^{2} - 102 λ + 1

Das Absolutglied

100

ist negativ.

Anwendung der ABC-Formel:

λ_{2 / 3} = \frac{- 102 \pm \sqrt{10 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = . . .

Gruß

pivot

Malbersa aktiv_icon

00:13 Uhr, 20.08.2019

Oh nein. Ich habe

\frac{102}{2} = 56

gerechnet. Schande!

Dann stimmt alles. Ich muss aber dazusagen, dass sich der zweite Weg - also statt der Polynomdivision die Terme zu dividieren - erst im Anschluss an die Threaderstellung für mich ergeben hat. Bzw. dass die Division so möglich ist, da die gekürzten Terme ja zunächst ungleich aussehen (unterscheiden sich ja aber letztlich nur im Vorzeichen). Es hat sich also in gewisser Weise gelohnt. Beim nächsten Mal warte ich trotzdem etwas ab, bevor ich ein Thema aufmache.

Danke für die Bestätigung.

pivot aktiv_icon

03:22 Uhr, 20.08.2019

Mathematisch sauber würde man hier

(1 - λ)^{2} (101 - λ) - 100 (1 - λ) = 0

erst einmal

(1 - λ)

ausklammern.

(1 - λ) \cdot ((1 - λ) \cdot (101 - λ) - 100) = 0

.

Nun den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Die linke Seite ist gleich

0

, wenn (entweder)

1 - λ

und (oder)

(1 - λ) \cdot (101 - λ) - 100

gleich 0 sind. Hier muss keine Polynomdivision oder irgend eine andere Art von Division erfolgen.

ermanus aktiv_icon

10:32 Uhr, 20.08.2019

Hallo,
vielleicht noch dieser kleine Tipp:
wenn man die Determinante nach der 2-ten Zeile entwickelt,
bekommt man sofort

(1 - λ) \cdot ∣ \begin{array}{cc} 1 - λ & - 10 \\ - 10 & 101 - λ \end{array} ∣

,

so dass der Faktor

(1 - λ)

sich bereits als ausgeklammert präsentiert.
Gruß ermanus

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