Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Charakteristisches Polynom einer inversen Matrix

Charakteristisches Polynom einer inversen Matrix

Universität / Fachhochschule

Tags: Charakteristisches Polynom, Inverse Matrix

jigga aktiv_icon

23:33 Uhr, 12.05.2009

Hallo Leute,

ich habe hier die folgende Aufgabe gestellt gekriegt und komme einfach nicht weiter:

Sei K ein beliebiger Koerper und

A \in M (n, n; K)

. Fuer

k_{0}, . . ., k_{n - 1} \in

K sei

χ_{A} (t) = (- 1)^{n} (t^{n} + k_{n - 1} t^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + k_{1} t + k_{0})

das charakteristische Polynom eines bijektiven Endomorphismus A. Was ist das charakteristische Polynom von

A^{- 1}

?

Hinweis: Betrachten Sie z.B. (detA) ·

χ_{A^{- 1}} (t)

. Außerdem ist aus der Vorlesung bekannt, dass

k_{0} = (- 1)^{n} d e t A

gilt.

das beste, was bei mir nach langem rechnen dasteht ist:

A^{- 1} = \frac{(- 1)^{n - 1}}{d e t (A)} (A^{n - 1} + k_{n - 1} A^{n - 2} + . . . + k_{1})

aber was soll ich weitertun, damit ich auf

χ_{A^{- 1}} (t)

komme?!

ich danke euch jetzt schon!

Greetz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

pepe1 aktiv_icon

14:37 Uhr, 13.05.2009

An anderer Stelle schon geantwortet; hier nochmal:

Hinweis:

A^{- 1}

nicht additiv, sondern muliplikativ darstellen
wegen:
(1)

det (A \cdot B) = det (A) \cdot det (B)

Desweiteren:
(2)

det (A^{- 1}) = {(det (A))}^{- 1}

[

folgt aus

(1)

und

A \cdot A^{- 1} = E]

Für

t \neq 0

(also alle EW von

A \neq 0

bzw.

det (A) \neq 0)

gilt:

[

Im Falle

t = 0

exist.

A^{- 1}

nicht.

]

A^{- 1} - t \cdot E = (- t) \cdot (E - \frac{1}{t} \cdot A^{- 1}) = (- t) \cdot (A \cdot A^{- 1} - \frac{1}{t} \cdot A^{- 1}) = (- t) \cdot (A - \frac{1}{t} \cdot E) \cdot A^{- 1}

\to

χ_{A^{- 1}} = {(- 1)}^{n} \cdot t^{n} \cdot χ_{A} (\frac{1}{t}) \cdot {(det (A))}^{- 1}

[

siehe

(1)

und

(2)]

Mit

k_{0} = {(- 1)}^{n} \cdot det (A)

erhalten wir:

χ_{A^{- 1}} = t^{n} \cdot χ_{A} (\frac{1}{t}) \cdot \frac{1}{k_{0}}

χ_{A^{- 1}} = t^{n} \cdot {(- 1)}^{n} \cdot (t^{- n} + \frac{k_{n - 1}}{k_{0}} \cdot t^{- n + 1} ... \frac{k_{1}}{k_{0}} \cdot t^{- 1} + 1) =

= {(- 1)}^{n} \cdot (t^{n} + \frac{k_{1}}{k_{0}} \cdot t^{n - 1} + ... \frac{k_{n - 1}}{k_{0}} \cdot t + \frac{1}{k_{0}})

MfG

610103

609904

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?