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Charakteristisches Polynom und Invertierbarkeit
Universität / Fachhochschule
Tags: Charakteristisches Polynom, Invertierbarkeit, Lineare Algebra, polynom
 
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Es seien ein Ko ̈rper und ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Es seien a ∈ End(V ) und das zu a gehörige charakteristische Polynom. Zeigen Sie: Die lineare Abbildung a ist genau dann invertierbar, wenn ≠ 0 ist. Ich weiß, dass folgendes gilt: Sei A die Matrix und invertierbar. A lässt lässt sich Schreiben als S⋅D⋅S−1 mit als Transformationsmatrix und als Diagonalmatrix mit Eigenwerten auf der Diagonalen. Angenommen A hat einen Eigenwert ⇒det(D)=0 ⇒det(A)=0 A ist aber nach Vorraussetzung invertierbar. Aber, wie genau kann man das jetzt zeigen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, überlege dir, dass das Absolutglied des charakteristischen Polynoms (bis auf das Vorzeichen) die Determinante von ist. Gruß ermanus |
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Hallo, oder man verwendet den Satz von Cayley-Hamilton, nach dem Nullstelle ihres char. Polynoms ist: Bringe alle Terme mit auf die andere Seite und klammere aus. Fertig. Mfg Michael |
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