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Charakteristisches, minimal Polynom

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

guguli aktiv_icon

11:47 Uhr, 15.09.2011

Hallo zusammen,

habe folgende Aufgabe:
Es sei

V

der Vektorraum

ℝ^{n}

. weiter sei

φ : V \to V

definiert durch

φ ({(v_{1}, ..., v_{n})}^{t}) = {(w_{1}, ..., w_{n})}^{t},

wober

w_{i} = v_{i + 1}

für alle

1 \leq i \leq n - 1

und

w_{n} = 0

ist.

nun will ich das Charakteristische Polynom

χ_{φ}

und das minimal plynom

μ_{φ}

von

φ

berechnen.
Also wie man die berechnet weiss ich aber wenn eine Matrix gegeben ist. ich weiss nicht wie ich daran gehen soll.

kann mir pls einer nen tipp geben??

THX

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

12:32 Uhr, 15.09.2011

Hi,

darstellende Matrix berechnen?!?

Gruß
Sina

Sina86

12:34 Uhr, 15.09.2011

Alternativ:

Das charakteristische Polynom hat Grad n und die n Nullstellen sind die Eigenwerte der Funktion (die evtl. auch komplex sein können). Welche Eigenwerte hat die Funktion (im komplexen)?

Gerd30.1 aktiv_icon

12:48 Uhr, 15.09.2011

So sieht die Matrix dann aus!!

(\begin{matrix} 0 & . . & . . & . . & . . \\ 1 & 0 & . . & . . & . . \\ 0 & 1 & 0 & . . & . . \\ . . & . . & . . & . . & . . \\ . . & . . & . . & 1 & 0 \end{matrix})

guguli aktiv_icon

12:51 Uhr, 15.09.2011

Hallo,
sorry ich verstehe nicht worauf du hinaus willst???
das Charakteristische Polynom hat grad

n

weil wir

n

vektoren haben?!?!
oder was meinste genau???

THX

Sina86

12:54 Uhr, 15.09.2011

Das charakteristische Polynom existiert nur für Automorphismen, d.h. bijektive lineare Abbildungen von einem endlichdimensionalen Vektorraum

V

in sich selber (d.h.

F : V \to V

). Ist dann

d i m (V) = n

, so ist

g r a d (χ_{F}) = n

guguli aktiv_icon

13:53 Uhr, 15.09.2011

und wie weit hilf mir diese Information für dich Bestimmung daa Charakteristische Polynom??

Also das Ch.P.

= det (A - λ

I)wie bestimme ich denn die Determinante einer

n

gradigen Matrix????

Gruß

Sina86

14:03 Uhr, 15.09.2011

Also bei mir bezeichnet

χ_{F}

das charakteristische Polynom von

F

. Du weißt doch, wie man das charakteristische Polynom aus einer darstellenden Matrix bestimmt, oder? Dann mach das doch einfach.

Bei meinem anderen Beitrag kannst du z.B. so vorgehen:
Es gilt

F^{n} (x) = 0

für alle

x \in ℝ^{n}

. Damit ist

F

eine nilpotente Funktion (vom Grad n) und hat daher auschließlich den Eigenwert 0 (und auch keinen weiteren komplexen Eigenwert). Wenn dir dieser Rechenweg nicht geheuer ist (er ist auch zugegebenermaßen nicht optimal, weil er nicht immer zum Ziel führt), dann mach es über die darstellende Matrix...

guguli aktiv_icon

14:16 Uhr, 15.09.2011

Ja das ist ja mein Problem... da ist keine Matrix gegeben exliziet gegeben sondern nur eine abbildungmatrix

φ

und ich weiss nicht wie ich daraus eine Matrix herzaubern.

und der zweite weg ist mir nicht geläufig.

Gruß

guguli aktiv_icon

14:26 Uhr, 15.09.2011

oder also die darstellungmatrix ist

A = (\begin{matrix} 0 & 0 & ... & 0 \\ 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ...,0 \end{matrix})

Das Ch P. ist dann

det (A - λ I) = det (A - λ \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & 0 ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 ...,0 \end{matrix}))

so ist ja richtig oder???

guguli aktiv_icon

14:50 Uhr, 15.09.2011

Können wir vllt exemplarische das schritt für schritt durchgehen.

Also die Abbildung

φ : V \to V

mit

φ ({(v_{1}, ..., v_{n})}^{t}) = {(w_{1}, ..., w_{n})}^{t}

ist ja das :

φ ((\begin{matrix} v_{1} \\ ... \\ v_{n} \end{matrix})) = (\begin{matrix} w_{1} \\ ... \\ w_{n} \end{matrix})

und wenn

w_{n} = 0

und

w_{i} = v_{i + 1}

für alle

1 \leq i \leq n - 1

ist dann,

φ ((\begin{matrix} v_{1} \\ ... \\ v_{n} \end{matrix})) = (\begin{matrix} v_{2} \\ ... \\ 0 \end{matrix})

oder nicht????

Gerd30.1 aktiv_icon

15:11 Uhr, 15.09.2011

Die Matrix musss wohl eher so aussehen

(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & . . & . . \\ 0 & 0 & 1 & . . & . . \\ . . & . . & . . & . . & . . \\ . . & . . & . . & 0 & 1 \\ . . & . . & . . & 0 & 0 \end{matrix})

guguli aktiv_icon

15:21 Uhr, 15.09.2011

Also beisielweise:

φ ((\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

also obere dreiecksmatrix.
ich vertsehe net wie ich jetzt das nte Grad und so einbinden, sodas das charakteristische olynom bestimmen zu können.

Sina86

15:26 Uhr, 15.09.2011

Vergiss einfach, was ich über das n-te Grad vom Polynom geschrieben hab, das verwirrt dich anscheinend nur. Bestimme einfach nur das charakteristische Polynom über die darstellende Matrix und fertig.

Dabei ist es völlig egal, welche darstellende Matrix du bestimmst (die ist ja von der gewählten Basis abhängig), das charakteristische Polynom bleibt immer gleich. Deine Formel fürs charakteristische Polynom ist richtig und die darstellende Matrix ist auch richtig. Also steht jetzt nichts mehr im Weg...

guguli aktiv_icon

16:26 Uhr, 15.09.2011

also ist mein ch. P. ist