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Chebyshev-Filter

Universität / Fachhochschule

Tags: Chebyshev, Teleskopterm

Sukomaki aktiv_icon

16:38 Uhr, 28.07.2024

Hallo,

ich kämpfe gerade mit einem Teleskopterm, den ich beim besten Willen nicht hergeleitet bekomme.

Er taucht auf bei der Normalisierung des Chebyshev-Filters.

Konkret :

Gegeben sind die Filterordnung

n

und der Parameter

ε

.

Die Transfer-Funktion lautet :

H (f) \cdot H (- f) = \frac{1}{1 + ε^{2} T_{n} (f)^{2}}

mit

T_{n} (f) = \cos (n \cdot \arccos (f))

Es treten folgende Nullstellen auf :

x_{j} = \cos (\frac{π}{2 n} (2 j + 1)) \cdot \cosh (\frac{\arcsin h (\frac{1}{ε})}{n}) - i \cdot \sin (\frac{π}{2 n} (2 j + 1)) \cdot \sinh (\frac{\arcsin h (\frac{1}{ε})}{n})

Ich stelle das Nullstellenprodukt zu

\cos (\frac{π}{2 n})

auf :

p := \prod_{j = 0}^{n - 1} (\cos (\frac{π}{2 n}) - x_{j})

Zu zeigen ist jetzt, dass

∣ \frac{1}{p} ∣ = 2^{n - 1} \cdot ε

Ich führe diese Rechnung durch, um die Ausgabe des Filters auf eins zu normalisieren,
was bei der Berechnung notwendig ist.

Ich habe mich intensiv mit der Thematik befasst, habe aber weder Induktionsbeweis noch direkten Beweis geschafft.

Widerspruchsbeweis schließe ich aufgrund der Natur des Teleskopterms aus.

Hat jemand einen Ansatz?

Es ist nicht nötig, die technischen Details zu verstehen. Nur die Mathematik des letzten Schrittes ist entscheidend.

Gruß
Sukomaki

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