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Chi-Quadrat Verteilung aus Normalverteilung

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion

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19:39 Uhr, 17.01.2021

Hallo,

ich habe für zwei Normalverteilungen (einmal Standardabweichung 1 und

2)

. Ich soll nun daraus jeweils eine Chi-Quadrat-Verteilung durch quadrieren plotten.

Theoretisch muss ich doch einfach nur die x-Werte quadrieren, oder? Die y-Werte

(d . h

. die Wahrscheinlichkeitsdichten) muss ich gleich lassen,

d . h

(x, y) \to (x^{2}, y)

und nicht

(x, y) \to (x^{2}, y^{2})

Grund meiner Frage: Im unteren Bild ist die Lösung geplottet. Allerdings hab ich das mal selber gemacht und komme auf ein anderes Bild. Was ist richtig?

Danke vorab :-)

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20:27 Uhr, 17.01.2021

Hallo,

du hast ja theoretische Verteilung. Diese würde ich auch theoretisch herleiten. Ich würde so beginnen:

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \pm \sqrt{y}) = P (- \sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y})

Gruß
pivot

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22:57 Uhr, 17.01.2021

Hi, danke für deine Antwort.

Bitte nicht falsch verstehen, aber mir reicht eigentlich die empirische Lösung :-).
Was mich halt verwirrt ist, dass ich eine andere Chi-Quadrat Verteilung erhalte.
Mir würde schon reichen, wenn jemand bestätigen könnte, dass meine Lösung richtig ist bzw. Wenn nicht was ich falsch nache.

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23:12 Uhr, 17.01.2021

Wenn du die Transformation durchführst siehst du, dass

X^{2}

eben anders verteilt ist. Mehr kann ich jetzt nicht dazu sagen. Vielleicht probierst du es doch mal so.
Ich habe mal meinen Ansatz weiterverfolgt. Dabei habe ich die zweite Wahrscheinlichkeitsdichte aus der normalverteilten Zufallsvariablen

X

mit

σ = \sqrt{2}

bzw.

σ^{2} = 2

hergeleitet.

HAL9000

08:52 Uhr, 18.01.2021

Mein Verdacht ist, dass Kurve für die Dichte der Verteilung von

X^{2}

für standardverteiltes

X

einfach

φ (\sqrt{x})

angenommen hat. Richtig ist hingegen (siehe Ansatz pivot), dass die Verteilungsfunktion

2 Φ (\sqrt{x}) - 1

ist und daher die Dichte als Ableitung dann

\frac{1}{\sqrt{x}} φ (\sqrt{x})

.

Dabei kennzeichne ich wie üblich mit

φ, Φ

Dichte und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

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09:03 Uhr, 18.01.2021

D . h

. der Fehler liegt eigentlich im Ansatz mit der Dichtefunktion.

Wenn ich eine normalverteilte Variablen habe und deren Werte quadriere, erhalte ich die von pivot bzw. in der Lösung geplottete Dichtefunktion mit Freiheitsgrad 1.

Allerdings erhalte ich diese Dichtefunktion nicht einfach, in dem ich die x-Werte der Normalverteilungsdichtefunktion quadriere. Kann man das so sagen?

HAL9000

09:15 Uhr, 18.01.2021

Ok, wenn das wirklich der Fehler war, dann führe ich die von pivot begonnene Rechnung für

Y = X^{2}

bei standardnormalverteiltem

X

mal ausführlich fort: Für

y \geq 0

gilt

F_{Y} (y) = P (- \sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) = Φ (\sqrt{y}) - Φ (- \sqrt{y}) = Φ (\sqrt{y}) - (1 - Φ (\sqrt{y})) = 2 Φ (\sqrt{y}) - 1

.

Die Dichtefunktion

f_{Y} (y)

ist davon die

y

-Ableitung, wobei man selbstverständlich die Kettenregel beachten muss:

f_{Y} (y) = F'_{Y} (y) = 2 Φ' (\sqrt{y}) \cdot (\sqrt{y})' = 2 Φ' (\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot φ (\sqrt{y})

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09:30 Uhr, 18.01.2021

Danke für deine Erklärung.

Ich frag mich gerade noch wie man sich das bildlich vorstellen kann.
Ich meine mit

(\sqrt{y})

dehnt man die Normalverteilungsdichtefunktion ja entlang der horizontalen Achse. Das macht Sinn, denn man quadriert ja die Zufallsvariable. Der Faktor

\frac{1}{.} .

. ist dann nötig, damit die Fläche wieder 1 wird.

Nochmal zu meiner vorherigen Antwort:
"Wenn ich eine normalverteilte Variablen habe und deren Werte quadriere, erhalte ich die von pivot bzw. in der Lösung geplottete Dichtefunktion mit Freiheitsgrad 1."

So ist die Chi-Quadrat-Verteilung ja für den Freiheitsgrad 1 definiert, oder irre ich mich da?

HAL9000

09:36 Uhr, 18.01.2021

Die Zufallswerte werden quadriert, ja, das besagt ja der Zusammenhang

Y = X^{2}

.

Ob die Chi-Quadratverteilung darüber definiert ist - oder aber (mit anderweitiger Definition der Chi-Quadratverteilung) sich dieser Zusammenhang durch Rechnung ergibt, ist letztlich Ansichtssache. Ich würde zu letzterem neigen, schon allein deswegen, weil man ja nicht nur diese Definition für Freiheitsgrad 1 sondern gleich auch für höhere Freiheitsgrade haben will.

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09:51 Uhr, 18.01.2021

Kann man sagen, dass der Grad der Chi-Quadrat-Verteilung der Standardabweichung der zugrundeliegenden Normalverteilung entspricht?

Oder hat das mit dem nichts zu tun. Kenne das momentan so:
Fr.Grad

1 : X^{2}

Fr.Grad

2 : X_{1}^{2} + X_{2}^{2}

HAL9000

10:06 Uhr, 18.01.2021

> Kann man sagen, dass der Grad der Chi-Quadrat-Verteilung der Standardabweichung der zugrundeliegenden Normalverteilung entspricht?

Nein, das ist grundfalsch! Eine Normalverteilung

X \sim N (0, n^{2})

bewirkt NICHT, dass

X^{2}

chiquadratverteilt mit

n

Freiheitsgraden ist, sondern nur, dass

\frac{X^{2}}{n^{2}}

chiquadratverteilt mit einem Freiheitsgrad ist - da sollte man also keine abenteuerlichen Zusammenhänge erfinden.

Richtig ist hingegen, dass die Summe der Quadrate von

n

unabhängig (!) identisch standardnormalverteilten Zufallsgrößen diese Chiquadratverteilung mit

n

Freiheitsgraden besitzt.

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10:14 Uhr, 18.01.2021

Ok, danke.

Die Herleitung für eine Normalverteilung mit Standardabweichung

\neq 1

wäre ja analog zu oben

d . h . :

= \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot ψ (\sqrt{y})

wobei

ψ

die Dichtefunktion der Normalverteilung ist, oder?.

EDIT: Eine Frage hätte ich dann doch noch zusätzlich.
In der Abbildung ganz oben sind im rechten oberen Bild zwei kleine vertikale Striche gezeichnet. Das sollen die Erwartungswerte der Chi-Quadrat-Verteilungen sein. Würde aber bahaupten, dass diese nicht zu einer ursprünglichen Standardnormalverteilung bzw. einer Normalverteilung mit Varianz=2 passen. Im ersten Fall kann man ja einfach die Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgrad 1 bei einem Wert von

0,5

betrachten. Am zugehörigen "x-Wert" hat die Dichtefunktion dann ja die hälfte der Fläche links und rechts. Würdet ihr mir da zustimmen?

HAL9000

12:41 Uhr, 18.01.2021

Für

X_{1} \sim N (0, 1)

und

Y_{1} = X_{1}^{2}

ist

E (Y_{1}) = E (X_{1}^{2}) = V (X_{1}) = 1

, während für

X_{2} \sim N (0, 2^{2})

und

Y_{2} = X_{2}^{2}

entsprechend

E (Y_{2}) = V (X_{2}) = 2^{2} = 4

ist. Und genau das sehe ich auch im Plot oben an den kleinen vertikalen Strichen.

Mit der Bewertung der Fläche unter der Kurve würde ich ganz, ganz vorsichtig sein: Zum einen passt diese Bewertung 50%/50% der Fläche nur für den Median statt für den Erwartungswert - zum anderen ist die

x

-Skale oben logarithmisch, womit auch das direkte Deuten der Fläche als Wahrscheinlichkeit in diesem Plot hinfällig ist.

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13:30 Uhr, 18.01.2021

Ok, vielen Dank.

D . h

. der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung entspricht hier der Varianz der zugrundeliegenden Normalverteilung?

Bei der blauen Kurve ist der Erwartungswert bei

x^{2} = 3

eingezeichnet (schwer zu erkennen, aber der Abstand von

10^{- 1}

nach

3 \cdot 10^{- 1}

ist gleich groß wie der von 1 bis zum blauen vertikalen Strich). Das würde ja dann dafür sprechen, dass links in blau

N (0,3)

dargestellt ist, oder?. Aber dann passt der Schnittpunkt der bauen Kurve mit der y-Achse rechts nicht mehr. Hast du eine Idee woran das liegen könnte?

HAL9000

13:36 Uhr, 18.01.2021

Es gibt keine Schnittpunkte der roten bzw. blauen Kurve mit der x-Achse, da beide Dichten bis in alle Ewigkeit positiv sind. Wenn du da meinst irgendwelche Schnittpunkte zu erkennen, dann schlicht deswegen, weil beim Zeichnen der Erkennbarkeit wegen die Linien eben doch eine positive Dicke aufweisen...

EDIT: Ach du meinst y-Achse, das "rechts" hatte mich irritiert.

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13:39 Uhr, 18.01.2021

Ja, dann anders ausgedrückt:
Bei einem

x^{2}

von

0,1

ist im oberen Bild der ursprünglichen Frage die blaue Kurve zwischen

0,8

und 1 und bei dem Bild zwei Posts vor diesem Eintrag zwischen

0,6

und

0,8

:-)

EDIT: Ja, die y-Achse

HAL9000

13:48 Uhr, 18.01.2021

Da muss ich nochmal genau fragen: Ist bei der zweiten Zufallsgröße nun die Standardabweichung 2 (wie du es oben angegeben hast) oder doch stattdessen die Varianz 2 ? Das ist eine Unterschied!!! Bei Standardabweichung=2 müsste der Schnittpunkt bei 0.62 liegen, bei Varianz=2 hingegen etwa bei 0.87.

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13:55 Uhr, 18.01.2021

Ja, war mein Fehler (habe auch nur die Bilder gegeben).
Und laut den Bildern müsste die Varianz bei ca. 2 liegen.
Allerdings passt es dann nicht mit dem Erwartungswert, der bei 2 liegen müsste.

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18:36 Uhr, 18.01.2021

>>Allerdings passt es dann nicht mit dem Erwartungswert, der bei 2 liegen müsste.<<

Der Erwartungswert der blauen Kurve liegt ja auch rechnerisch bei 2. Wo liegen jetzt genau deine Zweifel?
Und konntest du die blaue Kurve reproduzieren?

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18:44 Uhr, 18.01.2021

In der Abbildung im ersten Beitrag oben rechts ist der Erwartungswert der blauen Kurve bei 3 eingezeichnet (wenn ich mich nicht irre).

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18:46 Uhr, 18.01.2021

Wo genau? Ich sehe da nichts von einem markierten Erwartungswert.

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18:51 Uhr, 18.01.2021

Das ist das Originalbild (habe oben, da es mir zunächst unwichtig erschien, die Erwartungswerte rausgeschnitten)

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19:12 Uhr, 18.01.2021

Die Markierung könnte bei 3 liegen. Was diese jetzt zu bedeuten hat kann ich aber nicht sagen. Eine Grafik ohne Legende ist ein bisschen fragwürdig.

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19:17 Uhr, 18.01.2021

Dargestellt sind die "means" (steht im Text).

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19:20 Uhr, 18.01.2021

Es wäre schon nett wenn du nicht scheibchenweise mit den Infos ankommen würdest. Kannst du vielleicht mal alle relevanten Infos als Abbilld hochladen?

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19:32 Uhr, 18.01.2021

Ja, natürlich - wollte nur nicht verwirren.

Ist eine Folie aus einer Präsentation.

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19:35 Uhr, 18.01.2021

Idee ist es zwei Verteilungen mittels Mittelwert/Erwartungswert unterscheidbar zu machen durch quadrieren der Variablen (links sind sie ja beides Mal null, rechts aber nicht mehr)

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20:41 Uhr, 18.01.2021

Das kann ich mir jetzt auch nicht 100-ig erklären. Frage einfach mal bei dem/der Autor/in nach. Er/Sie muss es ja erklären können. Es kann ja gut sein, dass da bei der Darstellung etwas schief gelaufen ist.

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21:34 Uhr, 18.01.2021

Ok, dann vielen Dank an euch beide für die Hilfsbereitschaft.
Dann würde ich erstmal von einem Erwartungswert von 2 ausgehen.

Vielleicht noch am Rande: kennt ihr gute Literatur zu diesen Themen (also Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Rechnen mit Verteilungen,... Hab auf diesem Gebiet noch relativ wenig Erfahrungen)?

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