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Cholesky-Zerlegung zu QR-Zerlegung

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Sonstiges

Tags: Cholesky, Sonstig

pythagauss aktiv_icon

17:56 Uhr, 01.12.2018

Guten Abend ihr Lieben,

ich habe mal eine Frage aus dem Bereich der QR-/Cholesky-Zerlegung:

wenn

B

eine reguläre nxn Matrix, und

C \cdot C^{T}

die Cholesky-Zerlegung von

B^{T} \cdot B,

wie zeigt man dann Folgendes:

B = Q \cdot R

mit

Q = B \cdot {(C^{T})}^{- 1}

mit

R = C^{T}

ist eine QR-Zerlegung von

B . .

.

Ich weiß leider nicht wie ich das am besten umformen könnte um auf das Ergebnis zu kommen und würde mich über Hilfe freuen.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

18:07 Uhr, 01.12.2018

Hallo,

Q \cdot R = B

ist ja durch den Ansatz gegeben. Ebenso, dass

R = C^{T}

Dreiecksmatrix ist.

Fraglich ist doch nur, ob

Q

Orthonormal ist, also ob

Q^{T} \cdot Q = I

ist, das kann man ja mal überprüfen.

Gruß pwm

pythagauss aktiv_icon

21:08 Uhr, 01.12.2018

Erstmal danke für die Antwort!!

Na nach Aussage der. QR-Zerlegung bilden die Spalten von

Q

ja eine orthonormalbasis.. oder wie meinst du genau?
Oder meinst du ich sollte das direkt mit dem vorgegebenen

Q

testen?
Da

{(B \cdot {(C^{T})}^{- 1})}^{T} \cdot B \cdot {(C^{T})}^{- 1} = B^{T} \cdot C^{- 1} \cdot B \cdot {(C^{- 1})}^{T} = C^{- 1} \cdot {(C^{- 1})}^{T}

und da steh ich jetzt leider auf dem Schlauch oder habe bereits Fehler gemacht..
Aber ich denke mal auf so etwas wolltest du auf jeden Fall hinaus, oder?

Danke und LG

pwmeyer aktiv_icon

12:00 Uhr, 02.12.2018

Ja, darauf wollte ich hinaus. Ich kann nicht sehen, was Du da gerechnet hast.

Zunächstmal gilt ja allgemein