Startseite » Forum » Consider the absolute value function f(c) ........

Consider the absolute value function f(c) ........

Tags: MATH

01:06 Uhr, 27.01.2023

Hi, I am attaching a pic.

Consider the absolute value function $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ and the step function $g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ in the graphs below.
SAY WHICH STATEMENTS ARE TRUE AND WHICH ONES ARE FALSE/

$A\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ The average rate of change for $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ over the interval $\left[b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]$ is greater than the average rate of change for $g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ over the interval $\left[j\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]$

there are three other true or false statements but I'd rather go one by one.
my work:
the interval $\left[$bc] has two coordinate points $\left(0,0\right);\left(8,6\right)$

interval $\left[j\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]=$ goes from 0 to 2 on the $x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\xi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}s\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$.
that has me baffled because I am confused about interval $\left[j\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]$. We've been using this formula for the average rate of change over an interval.
$\left(\frac{f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)-f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{\left(b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}\right)$

but is it applicable here,
how can I find a and b?
thanks for any help.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

10:27 Uhr, 27.01.2023

$1.\right)$ wäre es hilfreich, wenn du uns die ganze Aufgabe wissen ließest, und nicht nur Ausschnitte.

$2.\right)$ Überleg mal: Wie groß ist die 'average rate of change' im Intervall
$2.a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\left[0,1;0,2\right]$
$2.b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\left[0,5;1,5\right]$
$2.c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\left[0,3;0,31\right]$
$2.d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\left[0,01;2\right]$
$2.e\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ überleg dir weitere beliebige Beispiele
$2.f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ macht's einen Unterschied?

21:22 Uhr, 27.01.2023

Ich beantworte die Frage nach den Intervallen, die Sie gestellt haben.Ich beantworte die Frage nach den Intervallen, die Sie gestellt haben.

$\left[0.1;0.2\right]=0.1$
$\left[0.5;1.5\right]=1$
$\left[0.3;0.31\right]=0.01$
$\left[0.01;2\right]1.99$

A priori, das ist meine Antwort.

Ich habe solche Ubungen schon einmal gemacht aber was mich jetzt verwirrt,ist,dass die Ubung eiene neue Wendungen hat
Ich bin an diese Art von Übung gewöhnt:
bestimme die Änderungsrate von $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)={x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}+4x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-5$ auf dem Intervall $\left[1,3\right]$
Ich weiß, wie ich dies mit der Formel $\frac{\left(f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)-f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\right)}{b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$ auf einem Intervall $\left[a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]$ lösen kann, wobei $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ von a und $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ von $b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ x-Werte und a und $b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ die y-Werte sind.
Ich möchte jetzt diese Art von Übung lösen.
aber hier gibt es keine Gleichung, wenn kein $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ von $x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ und $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ von $b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ gegeben ist und und das hat mir etwas durcheinandergebracht.

22:26 Uhr, 27.01.2023

Oh je, oh je, oh je, oh je.....
Ich fragte nicht nach der Breite der Intervalle,
sondern nach dem 'average rate of change' in diesen Intervallen.
Die Formel dazu hattest du eigentlich selbst benannt.

$\frac{\Delta y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{\Delta x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}=\frac{f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)-f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$

also das Beispiel
$2.a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\left[0,1;0,2\right]$

Wie groß ist $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=0,2\right)=$?
Wie groß ist $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=0,1\right)=$?

Wie groß ist dann die 'average rate of change'
$\frac{\Delta y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{\Delta x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}=\frac{f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)-f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)}{b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$
in diesem Intervall?

00:39 Uhr, 28.01.2023

Grossen Dank

$\frac{\left(0.2-0.1\right)}{0.2-0.1}=1$
The average rate of change is 1.

00:49 Uhr, 28.01.2023

Ich glaube, ich habe ein bisschen verstanden. Mal sehen!

Ich habe immer noch Zweifel an diesem Punkt.
Das Intervall $\left[b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]$ besteht aus diesen beiden Punkten $\left(0,0\right);\left(8,6\right)$ oder nicht?
Ihr Beispiel hat nur zwei eindeutige Punkte
$\left[0,1;0,2\right]$
Was ist also $b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ und was ist $c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ in intervall $\left[b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]$

Wenn ich das richtig verstanden habe, dann,Ich hab’s!

11:34 Uhr, 28.01.2023

Oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je, oh je $....$.

Rasta, willst du mal anfangen, ein klein wenig Sinn und Vernunft anzuwenden und Fragen zu beantworten.
zu $2.a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$
Wie groß ist der Funktionswert $g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)=g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(0.2\right)$ an der Stelle $x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=0.2$?
Wie groß ist der Funktionswert $g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)=g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(0.1\right)$ an der Stelle $x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=0.1$?

Übrigens:
Du solltest endlich verstehen lernen, dass das ganze etwas mit Steigung zu tun hat.
Was ist von den Lernerfolgen aus der ungefähr 7. Klasse über die Steigung von Geraden übrig geblieben?

PS:
Entschuldigung, ich habe oben selbst ein wenig verwirrend die Funktionsbezeichner $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(\right)$ und $g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(\right)$ ein wenig verwechselt verbuchselt

19:32 Uhr, 28.01.2023

Ich habe mir ein Video zu diesem Thema angesehen, dem ich das Folgende entnehmen konnte.
Okay, die Änderungsrate über $\left[J\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},K\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]$ ist $0,$ weil es keine y-Werte gibt.

Im Video wird dann erklärt, dass die Ermittlung der Änderungsrate über ein Intervall mit der Ermittlung der Steigung vergleichbar ist
Die Änderungsrate ist gleich=

(change in output)/ (change in input)

$=\left(\frac{f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}2\right)-f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}1\right)}{\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}2-x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}1\right)}\right)$

$=\frac{\left(y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}2-y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}1\right)}{\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}2-x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}1\right)}\right)$

the coordinate points for interval $\left[b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]$ are $\left(0,0\right)$ and $\left(8,6\right)$
so,
$\frac{\left(6-0\right)}{\left(8-0\right)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

the rate of change in interval $\left[b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]$ is greater than in $\left[j\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]$ that is true.

Wenn dieser Ansatz falsch ist, weiß ich nicht, was ich tun soll. Den Rest habe ich nicht verstanden.

Grossen Danke

22:03 Uhr, 28.01.2023

oh je, oh je, da sind die Kenntnisse aus der ~7.ten Klasse aber arg in Vergessenheit geraten.
Erinnere dich, da war die Steigung sehr typisch als "m" in der Geradengleichung
$y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=m\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\cdot x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}+b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$
zum Ausdruck gekommen.
Auch da hatte man eigentlich die selbe Definition und Vorgehensweise erklärt:
$m\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=\frac{\Delta y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{\Delta x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}$

$a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$
Betrachten wir erstmal die Betrags-Funktion $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ in deinem plot.
Wie hättest du denn die Steigung damals in der 7. Klasse bestimmt?
Du kannst $z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}.B\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$.
$>$ ein Steigungsdreieck von $\left[0;0\right]$ nach $\left(8;6\right)$ einzeichnen,
$>d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}.h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$. $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(0\right)=0$
$>f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(8\right)=6$

$m\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=\frac{f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(8\right)-f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(0\right)}{8-0}=\frac{6-0}{8-0}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0.75$

oder $z\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}.B\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$.
$>$ ein Steigungsdreieck von $\left[4;3\right]$ nach $\left[6;4.5\right]$ einzeichen,
$>d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}.h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$. $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(4\right)=3$
$>f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(6\right)=4.5$

$m\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=\frac{f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(4\right)-f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(6\right)}{4-6}=\frac{3-4,5}{4-6}=\frac{1,5}{2}=\frac{3}{4}=0.75$

oder ein beliebiges Steigungsdreieck im positiven Ast der Geraden.
Es sollte dir eigentlich aus der Mittelstufe klar sein, dass die Steigung einer Gerade überall gleich ist, ganz egal wie groß oder an welcher Stelle du es einzeichnest. In anderen Worten: ganz egal, wie du das zugrunde legende Invervall wählst.

Die Steigung einer Geraden ist an allen Stellen gleich,
in unserem Fall $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ eben: $m\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=\frac{3}{4}$

$b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$
Betrachten wir dann die Treppenfunktion $g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$.
"...0, weil es keine y-Werte gibt."
Oh je, oh je, du hättest erkennen können, dass die Funktionswerte im Bereich $j\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ bis $k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}.h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$. im Bereich $0 den Wert 0 haben.
Um wieder zu den oft beworbenen Beispiel zurückzukehren:
$2.a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$
Wie groß ist der Funktionswert $g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)=g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(0.2\right)$ an der Stelle $x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=0.2$?
ganz zweifellos: $g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(0.2\right)=0$

Wie groß ist der Funktionswert $g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)=g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(0.1\right)$ an der Stelle $x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=0.1$?
ganz zweifellos: $g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(0.1\right)=0$

Steigung:
$m\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=\frac{\Delta y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{\Delta x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}=\frac{g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(0,2\right)-g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(0,1\right)}{0,2-0,1}=\frac{0-0}{0,2-0,1}=\frac{0}{0,1}=0$

Oder, wenn man die Geraden-Zusammenhänge und 'Steigung' der Mittelstufe einigermaßen verstanden hat:
Welche Steigung hat denn eine waagrechte Gerade?
Ja natürlich: eine waagrechte Gerade hat "keine Steigung", na ja, präziser die Steigung
$m\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=0$

Wenn man das mal verstanden hat, dann sieht man doch leicht für die Treppenfunktion $g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right):$
$>$ das waagrechte Stück zwischen $\left[j\phantom{\rule{0.12em}{0ex}};k\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right],d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}.h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$. zwischen $0 hat doch die Steigung $\frac{\Delta g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{\Delta x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}=0;$
(egal, wie man auch ein Intervall dazwischen wählte);
$>$ das waagrechte Stück zwischen $\left[l\phantom{\rule{0.12em}{0ex}};m\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right],d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}.h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$. zwischen $2 hat doch die Steigung $\frac{\Delta g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{\Delta x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}=0;$
$>$ das waagrechte Stück zwischen $\left[o\phantom{\rule{0.12em}{0ex}};p\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right],d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}.h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$. zwischen $4 hat doch die Steigung $\frac{\Delta g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{\Delta x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}=0;$
$>$ das waagrechte Stück zwischen $\left[q\phantom{\rule{0.12em}{0ex}};r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right],d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}.h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$. zwischen $6 hat doch die Steigung $\frac{\Delta g\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{\Delta x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}=0$.

Leider hast du uns immer noch nicht
$1.\right)$ wäre es hilfreich, wenn du uns die ganze Aufgabe wissen ließest, und nicht nur Ausschnitte.

Falls du das nachholen wolltest, könnten wir vielleicht besser erahnen, ob auch irgend ein 'average rate of change' über diese waagrechten Stücke hinaus untersuchenswert wäre.
Ich denke, für die Wiederholung und Festigung des Mittelstufen-Stoffs sollte das einstweilen mal reichen...

01:18 Uhr, 29.01.2023

thanks, thank you so much for your time and effort. I appreciate that a lot!

these are the rest of the questions the exercise posed.

vielen Dank für Ihre Zeit und Mühe, mir das alles zu erklären. Hier habe ich den Rest der Aussagen beigefügt, um zu sagen, ob sie wahr oder falsch sind.

01:33 Uhr, 29.01.2023

I understood now. $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ of $0.2-f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ of $0.1=0$

19:17 Uhr, 29.01.2023

$B\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ Das ist nicht richtig. Beide Intervalle haben eine Änderungsrate von $0,$ weil sie eine horizontale Linie sind.

$C\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ Die durchschnittliche Änderungsrate über das Intervall $\left[a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]$ ist $-\frac{1}{2}$.
ist falsch, weil

$a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=\left(-8.5,6\right);\left(0,0\right)$
$b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=\left(0,0\right)$
donc

$\left(\frac{\left(y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}2-y\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}1\right)}{\left(x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}2-x\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}1\right)}\right)$

so,

$\frac{\left(0-6\right)}{\left(0-\left(-8\right)\right)}$

$-\frac{6}{8}$
$=-\frac{3}{4}$

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.