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Cornflakes

Schüler

Tags: Binomialverteilung, Normalverteilung, Stochastik

Sabine2 aktiv_icon

19:21 Uhr, 19.11.2012

Hallo,
selbe Frage wie eben: Mag mal bitte jemand auf meine Lösungen gucken und auf meine Fragen eingehen? Das wäre super! :-)

Zum Jubiläum einer Fernsehserie bringt eine Firma Cornflakes Packungen mit Figuren dieser Serie auf den Markt. Die Firma wibt damit, dass sich in jeder 5. Packung eine Figur befindet.

(a)

Es werden

20

Packungen bestellt, wobei man davon ausgehen kann, dass die Verteilung der Figuren zufällig ist.
-Erklären Sie, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang die folgende Rechnung hat:

(\begin{matrix} 20 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0,2}^{2} \cdot {0,8}^{18} \approx 0,1369

-Berechnen Sie die Wkt., dass sich über 2 Figuren in den Packungen befinden.
-Berechnen Sie, wieviele Packungen man kaufen müsste, um mit der Sicherheit von über

99,9 %

mindestens eine Figur zu erhalten.

Lösung:

- X

beschreibt die Anzahl der Figuren

(\in

den

20

Packungen), wobei

X

binomialverteilt ist mit

n = 20

und

p = 0,2

. Die Rechnung beschreibt dann

P (X = 2)

- P (X > 2) \approx 0,794

- n > 30,96,

also

n

mindestens

= 31

(b)

Bei der Produktion der Packungen treten nur die folgenden Fehler auf:

F_{1} :

falsches Gewicht der Füllung

F_{2} :

fehlerhafte Verpackung
Die beiden Fehler sind unabhängig voneinander. Eine Packung ist einwandfrei, wenn sie keinen der beiden Fehler aufweist. Das ist bei

90 %

der Packungen der Fall.

7,5 %

haben erfahrungsgemäß ein falsches Gewicht.
Veranschaulichen Sie die Zusammenhänge in einem Baumdiagramm und bestimmen Sie die Wkt., mit der die Verpackung fehlerhaft ist.

Lösung:
Ich hoffe, ihr kommt mit meiner Schreibweise klar, sonst fragt.

P (\bar{F_{1}} \cap \bar{F_{2}}) = 0,9

P (F_{1}) = 0,075

P (\bar{F_{1}}) = 1 - P (F_{1}) = 0,925

P (\bar{F_{1}} \cap F_{2}) = 1 - P (\bar{F_{1}}) = 0,025

P_{\bar{F_{1}}} (F_{2})) = 0,027

P_{\bar{F_{1}}} (\bar{F_{2}})) = 1 - P_{\bar{F_{1}}} (F_{2})) = 0,973

Mit diesen Infos kann ich aber noch kein Baumdiagramm erstellen, mir fehlen Werte. (Meine 4-Felder Tafel ist unvollständig.) Ich kann dem Text beim besten Willen aber keine Infos mehr entnehmen.

P(Verpackung fehlerhaft)

= 1 - P (\bar{F_{1}} \cap \bar{F_{2}}) = 0,1

(c)

Ein Konkurrenzunternehmen vermutet, dass die Firma mit der Werbung betrügt, das also die Behauptung mit "in jeder 5. Packung..." nicht eingehalten wird. Es soll dies nun untersucht werden.
-Entwerfen Sie einen Signifikanztest auf

4,5 %

Niveau bei einer Stichprobe von

1200

Packungen und geben Sie die Entscheidungsregel an.
-Berechnen Sie den fehler zweiter Art (und erläutern Sie seine Bedeutung), wenn in Wirklichkeit in jeder 6. Packung eine Figur ist.

Lösung:
-Ich habe den Ablehnungsbereich

[0; 215]

für

H_{0} : p \geq 0,2

. Ich habe

H_{O}

so gewählt, damit das Unternehmen nicht zu unrecht beschuldigt wird, bzw. dass die Wkt. dafür gering gehalten werden soll.
-Eine falsche Hypothese wird nicht abgelehnt. (Im Sachzusammenhang ist die falsche Hypothese welche?). Die Wkt. dafür liegt bei

P (X \geq 216) = 0,1357

(mit Normalverteilung (näherung) und für

p = \frac{1}{6})

(d)

Sie

W

die Anzahl der geöffneten Packungen, bis die erste Packung mit Figur geöffnet wird. Erklären Sie, welche Wkt. mit dem Term

P (W = k)

berechnet wird und bestimmen Sie diese.

Lösung:

- P (W = k)

bezeichnet die Wkt., dass bei der

k

. Öffnung die erste Figur gesichtet wird. (wirklich so einfach?)
-Wir haben

n

Packungen mit

z

Figuren.

P (X = k)

berechnet sich dann aus:

\frac{n - z}{n} \cdot \frac{(n - 1) - z}{n - 1} \cdot \frac{(n - 2) - z}{n - 2} \cdot ... \cdot \frac{(n - k + 1) - z}{n - k + 1} \cdot \frac{z}{n - k}

Mhh, das ist wahrscheinlich eh falsch, aber das ist jetzt das erste, was mir dazu eingefallen ist.

Danke im Voraus für eure unglaubliche Mühe! :-)
Sabine

EDIT: Okay, mein Teil zu

(d)

ist wirklich Müll. Damit berechne ich die Wkt. dafür, dass ich aus einem Topf solage ziehe, bis ich eine Figur ziehe, oder? Und in diesem Topf sind eben

n

Packungen und

z

Figuren. Also ziehen ohne zurücklegen. Dieses Modell passt hier aber nicht, also neue Idee:

X

ist binomialverteilt mit

n

und

p = 0,2

und beschreibt die Anzahl der Figuren. Dann ist

P (W = k) = (k - 1) \cdot P (X = 0) \cdot P (X = 1),

oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

prodomo aktiv_icon

06:56 Uhr, 20.11.2012

a)

b)

bis auf das Diagramm ok. Im Zweig

\bar{F_{1}}

bekommst du für

\bar{F_{2}} \frac{36}{37}

und im zweiten Ast entsprechend

\frac{1}{37}

. Da die Merkmale unabhängig voneinander sind, gilt das auch in dem anderen Ast bezüglich

F_{2}

. Das ist die fehlende Information.
Rest nach dem Frühstück.

Sabine2 aktiv_icon

07:06 Uhr, 20.11.2012

Welche Wahrscheinlihckeiten meinst du damit? Kannst du das mal in meiner Schreibweise angeben und wie kommt man darauf?
So, ich bin erstmal in der Schule, bis bald!

prodomo aktiv_icon

08:23 Uhr, 20.11.2012

Die Merkmale sind Gewicht und Verpackung. Unabhängig heißt, dass der Anteil der falschen Verpackungen unter den Exemplaren mit falschem Gewicht der gleiche ist wie unter denen mit richtigem Gewicht. Habe dir das Baumdiagramm anghängt. Die grünen Zahlen sind die gegebenen, die roten die errechneten. Im rechten Zweig kann man statt

0,925 - 9,9

auch

\frac{0,9}{0,925} = \frac{36}{37}

rechnen und dann mit

1 - \frac{36}{37} = \frac{1}{37}

die

\frac{1}{40}

errechnen. Also: bei

\frac{1}{37}

aller Pakete sind die Verpackungen sind fehlerhaft, egal ob mit dem richtigen Gewicht oder nicht.

prodomo aktiv_icon

08:48 Uhr, 20.11.2012

Frust. Hab gerade nach einem langen Text zum Signifikanztest versehentlich versucht, im Vorschaufenster eine Korrektur zu machen - alles ist weg (das müsste abgefangen werden

!)

Komme aber später darauf zurück, muss erst den Ärger verdauen.

prodomo aktiv_icon

16:08 Uhr, 20.11.2012

Das ist hier wieder so ein Fall, bei dem man raten darf, wie die Nullhypothese aussieht. Ein Hinweis könnte sein, dass der Fehler 2. Art gefragt ist. Der bedeutet ja, dass eine falsche Hypothese irrtümlich angenommen wird. Da laut Aufgabe tatsächlich nur

\frac{1}{6}

Figuren sind, würde ich die Hypothese

p = 0,2

nehmen. Dann wäre

μ = 240

und die Frage, ab welcher kleineren Zahl die Hypothese verworfen wird. Es ist laut Tabelle

Φ (- 1,695) = 0,045

und damit gilt

\frac{k + 0,5 - 240}{\sqrt{1200 \cdot 0,2 \cdot 0,8}} \leq - 1,695

. Das liefert

k \leq 216,01

. Also wird die Hypothese verworfen, wenn

216

oder weniger Figuren gefunden werden. Deine

215

könnten ein Rundungsfehler sein bzw. hast du eventuell nicht auf 4 Tabellendezimalen interpoliert. Jetzt könnte es aber auch mit den tatsächlichen

\frac{1}{6}

passieren, dass man

217

odert mehr Figuren zieht. Es gilt

P (x > 216) = 1 - P (x \leq 216) = 1 - Φ (\frac{216,5 - 200}{\sqrt{1200 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}}}) = 1 - Φ (1,278) = 1 - 0,8994 = 0,1006

d)

ist doch eigentlich einfach, hast du doch schon mehrfach gelöst.

P (W = k)

heißt, dass mit der k-ten Ziehung erstmalig eine Figur gefunden wird. Für

P (W = k)

gilt dann

1 - {(1 - p)}^{k}

Sabine2 aktiv_icon

16:52 Uhr, 20.11.2012

Ja das hatte ich auch schon öfters, das ist wirklich ärgerlich!

Zu

(c) :

Ich habe mit

\frac{k + 0,5 - 240}{\sqrt{1200 \cdot 0,2 \cdot 0,8}} \leq - 1,70

gerechnet und erhalte so

k \leq 215,94

.
Meine Tabelle liefert mir nur Werte mit zwei Dezimalstellen für

z

Φ (z)

(d)

Mh sag das lieber nicht, dass es einfach ist... :-P)
Also

{(1 - p)}^{k}

bestimmt die Anzahl an Zügen OHNE eine Figur gezogen zu haben. Aber hat man das nicht eher

{(1 - p)}^{k - 1}

mal gemacht? Ich würde das dann so machen:

{(1 - p)}^{k - 1} \cdot p

oder ist das das selbe?

prodomo aktiv_icon

17:21 Uhr, 20.11.2012

k

mal "keine Figur" ist ja auch das Gegenereignis zu "mindestens eine Figur in

k

Zügen" bzw. "spätestens beim kten Zug eine Figur", daher

1 - {(1 - p)}^{k}

Sabine2 aktiv_icon

20:23 Uhr, 20.11.2012

Und was sagst du zu

(c)

?
Okay, und wäre

p \cdot {(1 - p)}^{k - 1}

auch richtig?

prodomo aktiv_icon

06:54 Uhr, 21.11.2012

c)

ist mit den

1,7

richtig. Die Terme bei

d)

sind nicht identisch, deiner beschreibt genau einen Ast im Baumdiagramm, die Frage hieß aber "spätestens mit den kten Zug..."Jetzt allerdings habe ich die Frage ganz am Anfang noch einmal gelesen und neige eher zu deiner Interpretation...Diese Frage taucht in fast jeder Stochastikaufgabe auf und wird eigentlich immer mit "spätestens" interpretiert, hier sieht es tatsächlich etwas anders aus.

Sabine2 aktiv_icon

07:03 Uhr, 21.11.2012