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Cosinus(x)-Cosinus(y); Sinus(x)-Sinus(y)

Universität / Fachhochschule

Tags: Cosinus, Sinus, Trigonometrische Funktionen

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12:27 Uhr, 18.04.2019

1) Ich habe 2 Formeln, die besagen, dass

c o s (x) - c o s (y) = - 2 s i n (\frac{x + y}{2}) s i n (\frac{x - y}{2})

und

s i n (x) - s i n (y) = 2 c o s (\frac{x + y}{2}) s i n (\frac{x - y}{2})

Ich hab das mal mit

x = \frac{π}{6}

und

y = \frac{π}{9}

ausgerechnet. Die Formeln funktionieren.
Kann mir bitte jemand erklären, wie man auf diese Formeln kommt?

(Wer keine Lust hat das durchzulesen, Es reicht mir wenn die 1) Frage beantwortet wird)
2) Meine Idee war,

e^{\frac{i x}{2}} e^{\frac{i y}{2}} - e^{\frac{- i x}{2}} e^{\frac{- i y}{2}} = (c o s (\frac{x}{2}) + i s i n (\frac{x}{2})) (c o s (\frac{y}{2} + i s i n (\frac{y}{2})) - (c o s (\frac{- x}{2}) + i s i n (\frac{- x}{2})) (c o s (\frac{- y}{2}) + i s i n (\frac{- y}{2}))

= (c o s (\frac{x}{2}) c o s (\frac{y}{2}) - s i n (\frac{x}{2}) s i n (\frac{y}{2}) + i (c o s (\frac{x}{2}) s i n (\frac{y}{2}) + s i n (\frac{x}{2}) c o s (\frac{y}{2}))) - ((c o s (\frac{x}{2}) c o s (\frac{y}{2}) - (- s i n (\frac{x}{2}) (- s i n (\frac{y}{2}))

+ i ((c o s (\frac{x}{2}) (- s i n (\frac{y}{2})) + (- s i n (\frac{x}{2}) c o s (\frac{x}{2})))

= 0 + i (2 (c o s (\frac{x}{2}) s i n (\frac{y}{2}) + 2 c o s ((\frac{x}{2})) s i n (\frac{y}{2})))

So oder so ähnlich, nach 20 min cos und sin tippen ist da langsam die konzentration weg.
Ich habe die cos und sin wie komplexe Zahlen Multipliziert und Addiert/ Subtrahiert. Was hab ich falschgemacht

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

12:51 Uhr, 18.04.2019

Hallo
Der Weg über imaginäre Zahlen ist sicher ein möglicher Weg.
Du kannst aber auch rein geometrisch vorgehen.
Ich empfehle, nicht Differenzen, sondern die Summe

sin (x + y) = sin (x) \cdot cos (y) + cos (x) \cdot sin (y)

anzuguggen.
Auch das wird sicherlich nicht ganz kurz und leicht, aber Realschüler machen das als - sicherlich anspruchsvolle - Hausarbeit.

abakus

12:53 Uhr, 18.04.2019

Ich sehe keinen Grund, auf die Exponentialform auszuweichen.
Es ist x= (x+y)/2 + (x-y)/2 und y=(x+y)/2 - (x-y)/2

Somit kann cos(x) als cos((x+y)/2 + (x-y)/2) geschrieben werden. Darauf wird das Additionstheorem für den Kosinus einer Summe losgelassen.
Entsprechend wird cos(y)=cos((x+y)/2 - (x-y)/2) berechnet.
Bei der Differenzbildung cos(x)-cos(y) hebt sich dann vieles auf.

HAL9000

13:14 Uhr, 18.04.2019

In Ergänzung zu den beiden Vorpostern: Meines Wissens nach kann man so gut wie jedes Additionstheorem auf jenes

\sin (x + y) = \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (*)

zurückführen, in Kombination mit diversen Symmetrien bzw. Periodizitäten von Sinus- und Kosinusfunktion. So ergibt sich z.B. mit

x ʹ = x + \frac{π}{2}

sowie unter Nutzung von

\cos (t) = \sin (t + \frac{π}{2})

sowie

\sin (t + π) = - \sin (t)

das Kosinus-Additionstheorem

\cos (x + y) = \sin (x ʹ + y) = \sin (x ʹ) \cos (y) + \cos (x ʹ) \sin (y)

= \cos (x) \cos (y) + \sin (x + π) \sin (y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)

.

Anschließend bekommt man mit abakus' Methode den Beweis der obigen Formeln hin.

Und wie weist man nun eigentlich (*) nach ? Das hängt davon ab, wie man sin/cos definiert hat, d.h. auf geometrische Weise oder über die Reihendarstellung.

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Zum "Originalweg" von XeroHD oben: Wenn man sowohl Eulersche Formeln als auch die Potenzregel-Eigenschaft

e^{z_{1} + z_{2}} = e^{z_{1}} \cdot e^{z_{2}}

der komplexen Exponentialfunktion tatsächlich schon nutzen darf, dann geht natürlich auch der Weg:

(\cos (x) - \cos (y)) + i (\sin (x) - \sin (y)) = e^{i x} - e^{i y} = e^{i \frac{x + y}{2} + i \frac{x - y}{2}} - e^{i \frac{x + y}{2} - i \frac{x - y}{2}}

= e^{i \frac{x + y}{2}} (e^{i \frac{x - y}{2}} - e^{- i \frac{x - y}{2}}) = (\cos (\frac{x + y}{2}) + i \sin (\frac{x + y}{2})) \cdot 2 i \sin (\frac{x - y}{2})

= - 2 \sin (\frac{x + y}{2}) \sin (\frac{x - y}{2}) + 2 i \cos (\frac{x + y}{2}) \sin (\frac{x - y}{2})

Aufsplittung nach Real- und Imaginärteil liefert die beiden zu beweisenden Formeln.

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14:52 Uhr, 18.04.2019

Danke für die Antworten

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14:52 Uhr, 18.04.2019

Danke für die Antworten

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