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Cos(x-y)^2 = f(x) + g(y)

Universität / Fachhochschule

Tags: Cos(x-y)^2

BenClonmel aktiv_icon

12:40 Uhr, 11.02.2024

Kennt jemand eine Lösung dazu? Gesucht sind zwei reelle, stets positive Funktionen f(x) und g(y), die folgende Beziehung erfüllen:

cos(x-y)^2 = f(x) + g(y)

für alle x,y zwischen 0 und Pi.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

HAL9000

14:44 Uhr, 11.02.2024

Meinst du mit

{\cos (x - y)}^{2}

{(\cos (x - y))}^{2}

, auch kurz

\cos^{2} (x - y)

geschrieben, oder doch

b)

\cos ({(x - y)}^{2})

?

Ist aber auch egal: In beiden Interpretationsvarianten ist dein Ansinnen, das als Summe

f (x) + g (y)

darzustellen nicht erfüllbar, d.h., solche Funktionen gibt es nachweisbar nicht.

HJKweseleit aktiv_icon

16:21 Uhr, 11.02.2024

Für

c o s^{2} (x - y) = f (x) + g (y)

kann eine solche Darstellung mit positiven Werten von f und g nicht gefunden werden.

Beweis:

(1) Setze x = 0

\Rightarrow c o s^{2} (- y) = c o s^{2} (y) = f (0) + g (y) .

(2) Setze y = 0

\Rightarrow c o s^{2} (x) = f (x) + g (0) .

(3) Setze x = y = 0

\Rightarrow c o s^{2} (0) = 1 = f (0) + g (0) .

Addition von (1) und (2) gibt

c o s^{2} (x) + c o s^{2} (y) = f (x) + g (x) + f (0) + g (0) (\binom{(3)}{=}) f (x) + g (x) + 1

(4) somit:

c o s^{2} (x) + c o s^{2} (y) = f (x) + g (x) + 1

(5) Setze in (4) x = y =

π / 2 \Rightarrow c o s^{2} (π / 2) + c o s^{2} (π / 2) = 0 + 0 = f (π / 2) + g (π / 2) + 1 .

(5)

\Rightarrow f (π / 2) + g (π / 2) = - 1 < 0,

also muss f oder g auch negativ werden können.

HJKweseleit aktiv_icon

16:46 Uhr, 11.02.2024

Für

c o s ((x - y)^{2}) = f (x) + g (y)

kann eine solche Darstellung mit positiven Werten von f und g ebenfalls nicht gefunden werden.

Beweis:

(1) Setze x = 0

\Rightarrow c o s ((- y)^{2}) = c o s (y^{2}) = f (0) + g (y) .

(2) Setze y = 0

\Rightarrow c o s (x^{2}) = f (x) + g (0) .

(3) Setze x = y = 0

\Rightarrow c o s (0^{2}) = 1 = f (0) + g (0) .

Addition von (1) und (2) gibt

c o s (x^{2}) + c o s (y^{2}) = f (x) + g (x) + f (0) + g (0) (\binom{(3)}{=}) f (x) + g (x) + 1

(4) somit:

c o s (x^{2}) + c o s (y^{2}) = f (x) + g (x) + 1

(5) Setze in (4) x = y =

\sqrt{π / 2} \Rightarrow c o s (π / 2) + c o s (π / 2) = 0 + 0 = f (\sqrt{π / 2}) + g (\sqrt{π / 2}) + 1 .

(5)

\Rightarrow f (\sqrt{π / 2}) + g (\sqrt{π / 2}) = - 1 < 0,

also muss f oder g auch negativ werden können.

BenClonmel aktiv_icon

18:56 Uhr, 11.02.2024

Ich danke euch!

Es war eigentlich cos²(x-y) gemeint, sorry wegen der Ungenauigkeit. Aber danke für eure Antworten!

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