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Cotangens - Hauptäste

Universität / Fachhochschule

Tags: cotangens, Hauptäste, iteration

Sukomaki aktiv_icon

14:12 Uhr, 08.08.2016

Hallo,
ich habe eventuell eine Anwendung für

\tan (2 \arctan (x)) = \frac{2 x}{1 - x^{2}}

im
Bereich der iterierten Funktionensysteme anzubieten.

Sei

f (x)^{< n >}

die

n

-te Iteration von f nach x.
Gibt es nun ein solches

a (x)

, so dass

lim_{n \to \infty} {(x + \frac{1}{n} \cdot a (x))}^{< n >} = \tan (2 \arctan (x)) = \frac{2 x}{1 - x^{2}} ?

Es gibt ein solches

a (x)

a (x) := \ln (2) (1 + x^{2}) \arctan (x)

Def.: Ein Hauptast ist ein "injektiver Teil" einer gegebenen Funktion.
Welcher das ist, hängt von der Funktion ab.

Es ist

T_{ε} (x) := lim_{n \to \infty} {(x + \frac{ε}{n} \cdot \ln (2) (1 + x^{2}) \arctan (x))}^{< n >}

der Hauptast von

{(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{< ε >}

Außerdem ist dort

{(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{< ε >} = \tan (2^{ε} \arctan (x))

Analog dazu ist der Hauptast von

{(\frac{x^{2} - 1}{2 x})}^{< ε >} = \cot (2^{ε} a r c c o t (x))

C_{ε} (x) := lim_{n \to \infty} {(x + \frac{ε}{n} \cdot (- \ln (2) (1 + x^{2}) a r c c o t (x)))}^{< n >}

Leider sind

T_{ε}

und

C_{ε}

außerhalb des Hauptastes divergent.

Ist

lim_{n \to \infty} {(x + \frac{ε}{n} \cdot a (x))}^{< n >} = \tan (2^{ε} \arctan (x)) = {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{< ε >}

auf dem Hauptast im Prinzip interessant?

Ich habe zwei Skizzen mit Hauptästen angehängt.
Die erste (linke) von

\tan (2 \arctan (x))

, die
zweite (rechte) von

\cot (2 a r c c o t (x))

.

So, ich hoffe, ich habe keinen Denkfehler gemacht :-)

Gruß
Maki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:59 Uhr, 09.08.2016

Hallo
Kannst du erklären, was du mit iteriertem Funktionensyatem verstehst, und was

z . B

die Schreibweise
((x^2−1)/

(2 \cdot x)

)^(<ε>) beduetet?
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

16:59 Uhr, 09.08.2016

Hallo
Kannst du erklären, was du mit iteriertem Funktionensyatem verstehst, und was

z . B

die Schreibweise
((x^2−1)/

(2 \cdot x)

)^(<ε>) beduetet?
Gruß ledum

Sukomaki aktiv_icon

19:58 Uhr, 09.08.2016

Gerne.

Hm, "IFS" ist wohl nicht ganz der passende Ausdruck.
Ich habe das noch mal nachgelesen. "Iteriertes
Funktionensystem" steht eher für Fraktale wie die
Koch-Kurve, das Sierpinski-Dreieck oder die Drachen-
Kurve. Die Iteration einer einzigen Funktion ist
ein Spezialfall der "IFS".

Ich nehme die Funktion

f := x \to \frac{2 x}{1 - x^{2}}

und wende
sie wiederholt an. Z.B. ist

{(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{< 3 >} = f (f (f (x))) = \frac{8 x - 56 x^{3} + 56 x^{5} - 8 x^{7}}{1 - 28 x^{2} + 70 x^{4} - 28 x^{6} + x^{8}}

Ausführliches zweifaches Anwenden von

f

f (f (x)) = \frac{2 \frac{2 x}{1 - x^{2}}}{1 - {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} = \frac{2 \frac{2 x}{1 - x^{2}}}{\frac{(1 - x^{2})^{2}}{(1 - x^{2})^{2}} - {(\frac{2 x}{1 - x^{2}})}^{2}} = \frac{\frac{4 x}{1 - x^{2}}}{\frac{1 - 6 x^{2} + x^{4}}{(x^{2} - 1)^{2}}}

= \frac{4 x}{1 - 6 x^{2} + x^{4}} \cdot \frac{(x^{2} - 1)^{2}}{1 - x^{2}} = \frac{4 x}{1 - 6 x^{2} + x^{4}} \cdot (1 - x^{2}) = \frac{4 x - 4 x^{3}}{1 - 6 x^{2} + x^{4}}

Gruß
Maki

ledum aktiv_icon

12:23 Uhr, 10.08.2016

Hallo
ich sehe nicht was genau du willst.dass man die Formel für Winkelverdopplung von tan "iterieren" kann um

tan (2^{n} \cdot α)

zu haben ist klar.
was du mit dem

lim

willst und deinem

a (x)

verstehe ich nicht, insbesondere wird wohl deine

n

te Integration von

x + \frac{k}{n} \cdot a (x)

ein ziemlich grausiger Ausdruck. Ich seh auch nicht wie du diesen

lim

zeigst, und falls du es zeigst was er bringen soll.
Gruß ledum

Sukomaki aktiv_icon

15:37 Uhr, 10.08.2016

Hallo,

> insbesondere wird wohl deine n te Integration von

x + \frac{k}{n} \cdot a (x)

> ein ziemlich grausiger Ausdruck.

ich sage ja nicht, dass es eine geschlossene Form für die

n

-te
Iteration (nicht Integration) gibt. Tatsächlich nähere ich mich
numerisch an und berechne die Iteration mit MAPLE / C++-Programm
für ein großes

n

.

Dennoch kann ich zum Sachverhalt folgendes sagen :
Sei

f

eine bijektive Funktion und

f^{< ε >} (x)

die

ε

-te
Anwendung von f auf x. Dann betrachte ich

φ (f (x)) = \frac{\partial f^{< ε >} (x)}{\partial ε} ∣_{ε = 0}

Das ist gleichbedeutend mit

φ (f (x)) = \frac{\frac{\partial f^{< ε >} (x)}{\partial ε}}{\frac{\partial f^{< ε >} (x)}{\partial x}}

Insbesondere folgt aus der Definition von

φ

lim_{n \to \infty} (x + \frac{1}{n} \cdot φ (f (x)))^{< n >} = f (x)

Im vorliegenden Fall ist

φ (\tan (2 \arctan (x))) = \ln (2) (1 + x^{2}) \arctan (x)

Vielleicht mal zwei Beispiele zur Bildung von

φ

:

I)

f (x) := x + a \Rightarrow f^{< ε >} (x) = x + ε a

Also

φ (f (x)) = a

und

lim_{n \to \infty} {(x + \frac{1}{n} \cdot a)}^{< n >} = lim_{n \to \infty} (x + \frac{n}{n} \cdot a)

= x + a = f (x)

II)

f (x) := m \cdot x \Rightarrow f^{< ε >} (x) = m^{ε} \cdot x

Also

φ (f (x)) = \ln (m) \cdot x

und

lim_{n \to \infty} {(x + \frac{1}{n} \cdot \ln (m) \cdot x)}^{< n >} =

lim_{n \to \infty} {((1 + \frac{\ln (m)}{n}) \cdot x)}^{< n >} = \exp (\ln (m)) \cdot x = m \cdot x = f (x)

Gruß
Maki

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