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Cramerverfahren/ + Inverse einer Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: cramer verfahren invertieren einer matrix

effiberger aktiv_icon

06:04 Uhr, 18.07.2008

Hab morgen ne Klausur und hab bisher noch keinen gefunden der mir sagt wie man das anwenden kann...für hilfe bzw. Hinweise bin ich sehr dankbar...danke,eva

Aufgabe1: Wie berechnet man mit dem cramer-verfahren diese Gleichungen?

x + y + z = 1

2 x + 5 y - 3 z = 10

2 x + 2 y + 2 z = a

x - y + z = - 1

Aufgabe2:
die Inverse von:

2 - - - 1 - - - 4 - - - 3 - - - = 0

(- 1) - - 2 - - - 1 - - - (- 1) - \equiv 4

3 - - - 4 - - - (- 1) - - - (- 2) = 0

4 - - - 3 - - - 2 - - - 1 = 0

Soll eine Matrix darstellen...in Klammer gehaltene Zahlen sind negativ.

BjBot aktiv_icon

12:25 Uhr, 18.07.2008

zu 1)

Meiner Meinung macht das keinen Sinn, denn für die Cramersche Regel benötigt man Determinanten, welche man nur von quadratischen Matrizen bilden kann.

zu 2)

Soll das eine erweitere 4x4 Koeffizientenmatrix sein ?
Was sollst du benutzen ? Gauss-Jordan oder die die Adjunkte einer Matrix, die aus Unterdeterminanten besteht ?

Gruß Björn

effiberger aktiv_icon

14:04 Uhr, 18.07.2008

Fragestellung zu

1)

Für welchen Wert von a hat dieses Gleichungssystem eine Lösung?Bestimmen sie für diesen Wert von a die Lösung des Gleichungssystems mit Hilfe der Cramerschen Regel

zu2)

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe der Inversen.

\to

anhand von Unterdeterminanten

Danke

HFips aktiv_icon

14:31 Uhr, 18.07.2008

Cramer'sche Regel funktioniert folgendermaßen. Du ersetzt in der Koeffizientenmatrix A die i-te Spalte durch die rechte Seite, um xi (in unserem Fall x1=x, x2=y, x3=z) zu erhalten. Diese neue Matrix nennst du Bi.

Dann gilt für $x_{i} = \frac{\det (B_{i})}{\det (A)}$

Ich habe jetzt die Gleichung mit a erstmal aussen vor gelassen.

det(A) ist bei uns -10.

det(B1) und det(B2) sind auch -10, also erhält man für x=y=1.

det(B3) ist 10, also ist z=-1

Jetzt kannst du diese Lösung für das LGS in die letzte Gleichung einsetzen und gucken, was du für a erhälst...

MBler07 aktiv_icon

14:52 Uhr, 18.07.2008

1)

wie schon gesagt, muss die Determinante berechnet werden, was nur mit quadratischen Matrizen möglich ist. Mit der Umstellung ergibt sich folgendes:

(1 ... . 1 ... . 1 . . 0 | 1)

(2 ... . 5 . - 3 . . 0 | 10)

(2 ... . 2 ... . 2 . . 1 | 0)

(1 . - 1 ... . 1 . . 0 | - 1)

wobei die Aufgabe dann immer noch komisch ist.
Was weißt du denn von der Cramer'schen regel? Im Prinzip ist das ja eine Formel, in die du "nur" einsetzen musst. Wo hängts denn da?

2)

Was ist hier das Problem?
Fang mal einfach mit der Berechnung der Unterdeterminanten an:
Matrix

(. 2 . . 1 ... . 4 ... . 3)

(- 1 . . 2 ... . 1 . - 1)

(. 3 . . 4 . - 1 . - 2)

(. 4 . . 3 ... . 2 ... . 1)

Die Unterdeterminante zu dem Element

a_{11}

lautet:

(2 ... . 1 . - 1)

(4 . - 1 . - 2)

3 ... . 2 ... . 1)

Diese kannst du jetzt

z . B

. mit der regel von Sarrus berechnen. Dasselbe dann für alle anderen Elemente. Also verdammt viel Arbeit.
Vorgehensweeise: Streiche jeweils die i-te Zeile und j-te Spalte des Elements a_ij (also bei

a_{11}

die jeweils erste).
Die Berechnete Unterdeterminante nennen wir mal

D_{11}

. Für die Inverse musst du jetzt noch das Algebraische Komplement bilden:

A_{11} = {(- 1)}^{i + j} \cdot D_{11}

(Also nur eine Vorzeichenänderung)
Einfacher gesehen: Leg ein Schachbrett über die Matrix. Das Element

a_{11}

ist "plus",

a_{12}

"minus",

a_{13}

wieder plus,...
Dann hast du die Matrix A_ij (auch

4 x 4) .

Diese muss jetzt nur noch transponiert und mit dem Kehrwert der Determinante der Ausgangsmatrix multipliziert werden.

Nachsatz: Berechne erst die Determinante. Wenn diese Singulär(=0) ist, gibt es keine Inverse.

Hoffe mal, dass das so verständlich ist.

Grüße

Edit: Oder einfach wie von HFips vorgeschlagen die eine Gleichung erstmal weglassen.

effiberger aktiv_icon

17:14 Uhr, 18.07.2008

hey merci inverse hab ich verstanden...

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