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DG 2. Ordnung, nicht konstante Koeffizienten

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

student11 aktiv_icon

16:11 Uhr, 30.07.2012

Hallo zusammen

Habe hier die Aufgabe:

Bestimme eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung

y'' - \frac{2 y'}{t} + 2 \frac{y}{t^{2}} = t^{5}

Dachte mir, dass der einzig mögliche Lösungsweg wohl Substitution sein müsste, wenn ich aber

z . B

2 \frac{y}{t^{2}}

substituiere komme ich wieder auf eine inhomogene DG 2. Ordnung, da müsste ich wieder substituieren..

Gibt es eine einfachere Lösung??

Vielen Dank für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:04 Uhr, 30.07.2012

Hallo,

kann es sein, dass Ihr eine oder zwei Lösungen der homogenen Gleichung finden sollt

(z . B . t

oder

t^{2})

und den Rest durch Variation der Konstanten?

Gruß pwm

student11 aktiv_icon

17:10 Uhr, 30.07.2012

Also versucht man "duch Ausprobieren" eine Lösung zu finden..

Also du würdest sagen:

Lösung für den homogenen Teil ist

z . B

y = t^{2} + C

Also ist der Ansatz

y = t^{2} + c (x)

y' = 2 \cdot t + c' (x)

y'' = 2 + c'' (x)

Dann erhält man

2 + c'' - \frac{2 c'}{t} - 2 + 2 = t^{5}

Nun hat man die Terme 1. Ordnung eliminiert? Und würde dann diese durch Substitution lösen?

pwmeyer aktiv_icon

17:13 Uhr, 30.07.2012

Variation der Konstanten bedeutet den Ansatz

u (t) = c (t) \cdot t^{2}

Gruß pwm

student11 aktiv_icon

17:17 Uhr, 30.07.2012

Habe mir schon gedacht, dass an dem Ansatz etwas falsch ist.. Vielen Dank..

Wie kommt man denn eigentlich auf

t^{2}

? Durch Ausprobieren?

whyn0t aktiv_icon

17:27 Uhr, 30.07.2012

wie wäre es mit dem ansatz

y = c \cdot t^{7}

y' = 7 c t^{6}

y'' = 42 c t^{5}

\to

42 c t^{5} - 14 c \frac{t^{6}}{t} + 2 c \cdot \frac{t^{7}}{t^{2}} = t^{5}

jetzt noch

c

bestimmen

whyn0t aktiv_icon

17:28 Uhr, 30.07.2012

Hinweis: eulersche DGL

student11 aktiv_icon

17:29 Uhr, 30.07.2012

Hmm, es ist eine alte Prüfungsaufgabe von einem anderen Professor..
Wir hatten in der Vorlesung keine Eulerschen DG, könnte es sein, dass diese Aufgabe dann wohl eher nicht für uns gedacht wäre?

whyn0t aktiv_icon

17:33 Uhr, 30.07.2012

hmm ist schon was her bei mir. Aber man kann diesen Typ von DGL auf verschiedene arten und weisen lösen. Kann mal nachschauen wie das war :-D) aber bei dieser hier kann man es noch relativ leicht "sehen"

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