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DGL 1. Ordnung - Störfunktion e^x

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

dom3000 aktiv_icon

20:59 Uhr, 30.12.2018

Hallo,
ich habe folgende DGL mit der Ansatzmethode zu lösen:

y' - 3 y = 3 e^{x}

y (1) = 1

Laut Lösung ergibt dies folgendes:

y = 3 e^{x} (x - 1) + e^{x - 1}

Für die homogene Lösung bekomme ich folgendes raus:
yh

= e^{3 x} \cdot C

Für die partikuläre Lösung nehme ich zunächst folgenden Ansatz:

yp = C*x*e^(bx)

Dadurch ergibt sich zunächst: yp

= C \cdot x \cdot e^{x}

Stimmt dies überhaupt so oder fange ich schon beim Ansatz falsch an?

Habe dieses Beispiel nun mehrmals durchgerechnet aber ich komme nicht auf die Lösung lt. Skript. Wäre nett wenn es jemand Schritt für Schritt vorrechnen könnte, danke.

pleindespoir aktiv_icon

23:08 Uhr, 30.12.2018

"Für die partikuläre Lösung nehme ich zunächst folgenden Ansatz:

yp = C*x*e^(bx)"

warum ?

pleindespoir aktiv_icon

23:22 Uhr, 30.12.2018

y' - 3 y = 3 e^{x}

y_{h} = C \cdot e^{3 x}

y ʹ_{h} = 3 C \cdot e^{3 x}

y_{p} = b \cdot e^{a x}

y ʹ_{p} = a b \cdot e^{a x}

3 C \cdot e^{3 x} + a b \cdot e^{a x} - 3 (C \cdot e^{3 x} + b \cdot e^{a x}) = 3 e^{x}

a b \cdot e^{a x} - 3 (b \cdot e^{a x}) = 3 e^{x}

(a b - 3 b) \cdot e^{a x} = 3 e^{x}

a = 1

b - 3 b = 3

b = - \frac{3}{2}

y_{p} = - \frac{3}{2} e^{x}

pschnig aktiv_icon

14:23 Uhr, 31.12.2018

Könntest du mir bitte noch erläutern wie du von: (ab−3b)⋅eax=3ex

auf

a = 1

und der formel

b - 3 b = 3

kommst? Habe da echt keine Ahnung wie ich den Koeffizientenvergleich ansetzen soll damit ich auf diese Lösung komme.. Danke

pleindespoir aktiv_icon

14:34 Uhr, 31.12.2018

(a b - 3 b) \cdot e^{a x} = 3 e^{x}

Exponenten vergleichen:

a \cdot x = 1 \cdot x

a = 1

Vorfaktoren vergleichen:

(a b - 3 b) = 3

(1 \cdot b - 3 b) = 3

- 2 b = 3

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