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DGL 1. Ordnung mittels Ansatz der Störfunktion

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

simsum16 aktiv_icon

18:25 Uhr, 05.02.2014

Hallo allerseits,

meine Aufgabe besteht darin die DGL

y' + 2 y = e^{- 2 x}

mittels ANSATZ IN FORM DER STÖRFUNKTION zu lösen.

Die homogene Lsg. lautet ja

y_{h} = c \cdot e^{- 2 x}

ANSATZ:

y_{P} = A \cdot e^{- 2 x}

y'_{P} = - 2 A \cdot e^{- 2 x}

Eingesetzt in inhomogene DGL

- 2 A \cdot e^{- 2 x} + 2 A \cdot e^{- 2 x} = e^{- 2 x}

0 = e^{- 2 x}

????

Mein Problem befindet sich in der letzten Zeile.
Ich kann den Koeffizient nicht berechnen. Da muss sich doch ein Fehler eingeschlichen haben.

pleindespoir aktiv_icon

18:33 Uhr, 05.02.2014

"Mein Problem befindet sich in der letzten Spalte."

in diesem Fall solltest Du Dich zu einem Proktologen begeben ...

simsum16 aktiv_icon

18:40 Uhr, 05.02.2014

Ich habe gerade nachgeschaut was ein Proktologe ist, aber das hilft gerade wenig.

pleindespoir aktiv_icon

18:54 Uhr, 05.02.2014

Das A ist nicht konstant, sondern von x abhängig.

Daher muss die Produktregel bei der Ableitung angewendet werden und nicht die Faktorregel.

Also ist das Problem weiter oben und der Proktologe kann hier wirklich nicht helfen ...

simsum16 aktiv_icon

19:01 Uhr, 05.02.2014

Ok ich habs ;-)

simsum16 aktiv_icon

19:02 Uhr, 05.02.2014

...und das ohne Proktologe!

pleindespoir aktiv_icon

19:03 Uhr, 05.02.2014

Nochmal Glück gehabt !

simsum16 aktiv_icon

14:24 Uhr, 06.02.2014

Ich muss das Thema leider nochmal aufgreifen.
Ich verstehe nicht so ganz das A hier von

x

abhängen soll, denn ich habe eine andere Aufgabe (siehe Bild) nach dem selben Schema gelöst ohne das der Koeffizient (hier

b_{0})

von

x

abhängt.
Beim Lösen von DGL's 2. Ordnung hängen doch die Koeffizienten auch nicht von

x

ab.
Warum soll es hier anders sein?

pleindespoir aktiv_icon

16:43 Uhr, 06.02.2014

Das Spiel nennt sich "Variation der Konstanten"

y' (x) + 2 y (x) = e^{- 2 x}

y_{H}

zu bekommen wird "homogenisiert", also das Störglied Null gesetzt.

y_{H} = C \cdot e^{- 2 x}

um die Konstante zu "variieren", wird sie als Funktion betrachtet und ist daher von x abhängig:

y = C (x) \cdot e^{- 2 x}

und das muss in diesem Fall abgeleitet werden:

y = C ʹ (x) \cdot e^{- 2 x} + C (x) \cdot - 2 \cdot e^{- 2 x}

und in die ursprüngliche Gleichung rein:

C ʹ (x) \cdot e^{- 2 x} + C (x) \cdot - 2 \cdot e^{- 2 x} + 2 C (x) \cdot e^{- 2 x} = e^{- 2 x}

wenns anders irgendwie auch manchmal klappt, kann das Zufall oder Glück sein - oder eine andere Methode.

simsum16 aktiv_icon

16:54 Uhr, 06.02.2014

Die eigentliche Aufgabe bestand darin die beiden DGL's

y' + 2 y = e^{5 x}

y' + 2 y = e^{- 2 x}

(i)

mittels Variation der Konstanten
und
(ii) mittels Ansatz im Form der Störfunktion
zu lösen.

Teilaufgabe...

(i)

ist komplett geglückt.
(ii) ist an der ersten DGL geglückt (siehe Bild) und dann an der zweiten DGL gescheitert.

pleindespoir aktiv_icon

17:04 Uhr, 06.02.2014

gelöscht wegen Fehler

simsum16 aktiv_icon

17:14 Uhr, 06.02.2014

Vielleicht habe ich es noch nicht richtig nachvollzogen, aber die Koeffizienten kommen mir noch unbekannt vor.

Ich gebe mal das Ergebnis aus der Musterlösung zur DGL

y' + 2 y = e^{- 2 x} :

y = x \cdot e^{- 2 x} + c \cdot e^{- 2 x}

simsum16 aktiv_icon

17:18 Uhr, 06.02.2014

Ist da nicht ein Fehler in der 7 Zeile?
(Beim Addieren)

pleindespoir aktiv_icon

17:19 Uhr, 06.02.2014

Die Musterlösung stimmt und ich hab irgendwo Müll erzählt - ich guck gleich mal ...

simsum16 aktiv_icon

17:19 Uhr, 06.02.2014

Ich danke dir!

simsum16 aktiv_icon

17:31 Uhr, 06.02.2014

Mein Ansatz zur partikulären Lösung sollte stimmen.
In der Tabelle habe ich zufälligerweise die gleiche Störfunktion wieder gefunden.

pleindespoir aktiv_icon

17:36 Uhr, 06.02.2014

Ich hab mich irgendwie verrannt - brauch mal ne Pause wie es aussieht ...

... bis später !

simsum16 aktiv_icon

18:14 Uhr, 06.02.2014

Die sei dir gegönnt! :-)

pwmeyer aktiv_icon

19:26 Uhr, 06.02.2014

Hallo,

ich weiß nicht ob es schon klar geworden ist: Wenn die rechte Seite den Term

e x p (λ \cdot t)

enthält und

λ

Nullstelle der charakteristischen Gleichung ist, dann muss der Ansatz mit einem extra

t

oder

t^{2} ...

. (je nach der Ordnung) multipliziert werden, hier alos

t \cdot e x p (- 2 \cdot t)

.

Gruß pwm

simsum16 aktiv_icon

19:44 Uhr, 06.02.2014

Jetzt ist es klar geworden.
Ich habs selbst mal so durchgerechnet.

Ich dachte ich müsste das charakteristische Polynom nur für DGL 2. Ordnung bestimmen.
Da wir ja die homogene Lösung aus der DGL 1. Ordnung direkt ablesen konnten

(y_{h} = c \cdot e^{- λ \cdot x})

.

Aber so macht es Sinn!

Ich danke vielmals!

simsum16 aktiv_icon

19:49 Uhr, 06.02.2014

Damit ist die Frage beantwortet.

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