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DGL 1.Ordnung inhomogen mit konstanten Koeff.

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentialgleichung, Gewöhnliche

chris3ddr aktiv_icon

19:49 Uhr, 28.11.2019

Hallo ich habe ein Frage zu dieser Aufgabe:
Bestimmen Sie die allgemeine lösung der DGL

y' + 5 y = x^{2} - 1

.

Mein Ansatz:

y (x) = y h (x) + y p (x)

hmogene Lösung:

y (x) = K \cdot e^{- 5 x}

partikuläre Lösung:

g (x) = x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)

y (x) = Y p 1 (x) \cdot Y p 2 (x)

Y p 1 (x) = C 1 \cdot x + C 0

Y p 2 (x) = C 1 \cdot x + C 0

y p (x) = (C 1 \cdot x + C 0) (C 1 \cdot x + C 0) = {(C 1 \cdot x + C 0)}^{2}

y' p (x) = 2 (C 1 \cdot x + C 0)

- \to

Einetzten in die ausgangs DGL

2 (C 1 \cdot x + C 0) + 5 {(C 1 \cdot x + C 0)}^{2} = x^{2} - 1

2 \cdot C 1 \cdot x + 2 \cdot C 0 + 5 \cdot C 1^{2} \cdot x^{2} + 10 \cdot C 1 \cdot x \cdot C 0 + 5 \cdot C 0^{2} = x^{2} - 1

jetzt stehe ich auf dem Schlauch...
Wie bestimme ich meine Koeff.

C 1

und

C 0

?
Und ist mein Ansatz überhaupt richtig ?
Sorry falls etwa unverständlich ist, dies ist mein erster Forum Beitrag und kenne mich noch nicht so gut mit der Mathematischen Schreibweise am Rechner aus, falls iwas unklar ist ergänze ich dies sofort.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Loewe1

21:11 Uhr, 28.11.2019

Hallo,

y_{h} = C_{1} \cdot e^{- 5 x}

ist richtig.

Der Ansatz für die part. Lösung lautet:

y_{p} = A x^{2} + B x + C

y_{p}' = 2 A x + B

Es ist

y_{p}

und

y_{p}'

in die DGL einzusetzen:

- - - - - - - - - \to

2 A x + B + 5 A x^{2} + 5 B x + 5 C = x^{2} - 1

->Koeffizientenvergleich:

x^{2} : 5 A = 1 \to A = \frac{1}{5}

x^{1} : 2 A + 5 B = 0 \to B = - \frac{2}{25}

x^{0} : B + 5 C = - 1 - \to C = - \frac{23}{125}

\to

y_{p} = \frac{x^{2}}{5} - \frac{2}{25} x - \frac{23}{125}

y = y_{h} + y_{p}

pwmeyer aktiv_icon

12:20 Uhr, 29.11.2019

Hallo,

Dein Ansatz ist falsch. Du scheinst zu vermuten, dass die partikuläre Lösung in ein Produkt analog zu "rechten Seite" zerlegt werden kann. Dafür gibt es keinen Grund.

Der Ansatz ist ein allgemeindes Polynom von Grad

2 : a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

.

Gruß pwm

chris3ddr aktiv_icon

16:02 Uhr, 29.11.2019

Hallo,

erstmal danke für die hilfreichen Antworten!

Zu erst habe ich den Ansatz 2Ax

+ B

+5Ax^2+5Bx+5C=

x^{2}

−1 gewählt, bin dann aber beim bestimmen der Koefizienten

A B

und

C

gescheitert,da ich den Koeffizientenvergleich nicht auf dem Schirm hatte.

Wie funktioner der Koeffizientenvergleich hier ? Ich kann dies bei @Loewe1´s Lösung nicht nachvollziehen.

ledum aktiv_icon

16:12 Uhr, 29.11.2019

Hallo
die Koeffizienten bei

x^{2}, x

und absolutem Glied müssen jeweils auf der linken und rechten Seite gleich sein.
Alternative: da links = rechts für alle

x

kann man auch 3 (einfache)

x

einsetzen also etwa

x = 0, x = 1, x = - 1

Gruß ledum

Loewe1

16:47 Uhr, 29.11.2019

Hallo,

Du vergleichst die Terme mit

x^{2}, x

und

x^{0}

von der linken mit der rechten Seite.
Du beginnst

z . B

mit

x^{2} :

linke Seite:

5 A x^{2}

->Koeffizient ist

5 A

rechte Seite:

x^{2}

->Koeffizient ist 1

5 A = 1

A = \frac{1}{5}

usw.

chris3ddr aktiv_icon

20:53 Uhr, 02.12.2019

Viele dank für die hilfreichen Antworten

!!!

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