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DGL 2.Ordnung - Laplacetransformation

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

StudentFHT aktiv_icon

12:48 Uhr, 30.08.2014

Hallo Loewe1, heute beginne ich mit einem neuen Thema, DGL 2.Ordnung durch Laplacetransformation. Kannst du mir bitte im 1.Beispiel erklären wie ich es löse. Dadurch kann ich die andere Beispiele selbst lösen :-). Wie in vorigen Kapiteln. Ich danke dir sehr im vorhinaus.

Also das 1.Beispiel ist:

y'' - 9 y = cos t

y (0) = 1

y' (0) = 0

Da ist die Formelsammlung, die ich im Ordner verfüge:

http//de.scribd.com/doc/238161076/Laplace-Buch-Formeln

Loewe1

13:03 Uhr, 30.08.2014

Hallo,

ich mache es in sehr komprimierter Form , damit Du die Aufgaben lösen kannst ,
worauf es letzten Endes meistens hinausläuft.

Hierbei muß Du

y'' y'

und

y

ersetzen.

y'

kommt hier nicht vor in der Aufgabe.

Das folgt aus dem Differationssatz .

http//www.formel-sammlung.de/ld-Laplace-Transformation-1182.html

Wenn Du für

n = 0

und 1 udn 2 einsetzt (bei Differentiationssatz)

kommst Du auf die folgenden Ausdrücke:

y = F (s)

y' = - y (0) + s F (s)

y'' = - s \cdot y (0) - y' (0) + s^{2} \cdot F (s)

Das kannst Du ja mal machen.

StudentFHT aktiv_icon

13:18 Uhr, 30.08.2014

ja, habe ich.

Loewe1

13:24 Uhr, 30.08.2014

Nach dem Einsetzen in die Aufgabe entsteht folgende Gleichung:

- s + s^{2} \cdot F (s) - 9 F (s) =

(cos (t))

der Cos Ausdruck steht üblicherwiese in geschweiften Klammern)

F (s) (s^{2} - 9) - s = \frac{s}{s^{2} + 1}

->aus Deiner Tabelle
das muß dann nach

F (s)

umgestellt werden und eine Partialbruchzerlegung
angewendet werden.

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13:33 Uhr, 30.08.2014

F (s) = \frac{s}{(s^{2} + 1) (s^{2} - 9)} + \frac{s}{s^{2} - 9}

F (s) = \frac{s}{s^{4} - 9 s^{2} + s^{2} - 9} + \frac{s}{s^{2} - 9}

F (s) = \frac{s}{s^{4} - 8 s^{2} - 9} + \frac{s}{s^{2} - 9}

was mache ich jetzt? wie geht die Partialbruchzerlegung?

Loewe1

13:51 Uhr, 30.08.2014

Wie geht die Partialbruchzerlegung?

->hast Du das schon mal gemacht?

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13:52 Uhr, 30.08.2014

Ich kann mich nur an den Begriff erinnern.

Loewe1

14:02 Uhr, 30.08.2014

Dann gebe ich Dir mal das bekannte Dokument :

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

zum Durchlesen.

solamente aktiv_icon

14:11 Uhr, 30.08.2014

Partialbruch zerlegung musste echt draufhaben bei dem quatsch - kommt eig bei jeder Gleichung vor - hab die klausur grade erst geschrieben.

also du hast ja

F (s) =

s/(s^4-8s²-9)

+

s/(s²-9)

den 2. Teil müsstest du eig schon so inner tabelle finden können - daher brauchst du nur beim 1. Die partialpbruch zerlegung:

1. Schritt: POLSTELLEN finden (Nullstellen vom Nennerpolinom)

s^{4} - 8 s

- 9 = 0

\Rightarrow s 1,2 = \pm 3

dann gibts sone Fallunterscheidung - wenn du 2 Nullstellen hast die identisch sind musste beispielsweise

n

anderen fall nehmen als wenn du komplexe nullstellen hast usw - das einfach mal eben nachschlagen!

2. Schritt
in Diesem Fall hast du 2 unterschiedliche Nullstellen die weder Identisch noch Komplex sind:

s/(s^4-8s²-9)

= \frac{A}{s - 3} + \frac{B}{s + 3} < -

Formatierung is fürn arsch kanns iwie nicht ändern - hoffe es ist trotzdem klar was gemeint ist?!

das ist im Prinzip schon die partialbruch zerlegung die

s + 3

und

s - 3

folgen aus den Nullstellen und der Fallunterscheidung (das ist immer

(S -

NULLSTELLE) )

3. Schritt wenn man

ν

"ganz Toll ist" sieht man dass man (s^4-8s²-9) zerlegen kann in

(s^4-8s²-9) = (s²+1)(s-3)(s+3) - das KANN man bei einfacheren sachen sehen (binomische formeln beispielsweise!!!) - wenns komplexer wird musste das ausrechnen

so ergibt sich für einfache sachen wo man das direkt sieht:
irgendwie stellt die scheiße hier das ganze nicht richtig dar... seltsam - also hier als beispiel für das A

http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP64361hfdh32f0f05g00000005c8df6b3f7fige98?MSPStoreType=image/gif&s=57&w=153.&h=40.

kanns grade hier nicht schreiben weil da nur fuß bei rauskommt...

4. Schritt - kürzen und ausrechnen

wenn man dann wirklich alles bis hierher richtig gemacht hat kann man die geschichte auf der rechten seite einfach komplett ausmultiplizieren:

s = A \cdot

(s²

+ 1) (s + 3) + B

(s²+1)

(s - 3)

| hier haben sich die brüche gekürzt! siehe bild von Wolfram - da kannste das

(s - 3)

rausnehmen - analog beim

B

\Rightarrow s = A

(s³

+

3s²

+ s + 3) + B

(s³-3s²+s-3)

5. Schritt: nun vergleicht man die linke und rechte seite (wie hieß der scheiß denn noch.... maaaaann.... :-D) )

jedenfalls schaut man sich den exponenten vom

S

auf der rechten seite an und guckt was dafür auf der linken steht:

0 = A \cdot 1 + B \cdot 1 < -

s³n

0 = A \cdot 3 - B \cdot 3 < -

s²

\Rightarrow A = B

1 = A \cdot 1 + B \cdot 1 < - s^{1}

0 = A \cdot 3 - B \cdot 3 < - s^{0} \Rightarrow A = B

das muss man

ν

einfach nur lösen - und sollte ich mich nicht verrechnet haben ist

1 = A + A = 2 A \Rightarrow A = 1 \Rightarrow B = 1

damit hast du dann deine komplette zerlegung und kannst sagen:

s/(s^4-8s²-9)

= \frac{1}{s + 3} + \frac{1}{s - 3}

da hauste

ν

wieder die Tabelle drauf und TADAAAAAAAAAA

\to

Lösung

solamente aktiv_icon

14:25 Uhr, 30.08.2014

na siehste... ist übrigens direkt falsch weil noch 2 komplexe nullstellen dazu kommen...

von daher ist das VORGEHEN richtig - aber die 2 komplexen nullstellen fehlen - da würde dann noch

C

und

D

dazu kommen

hab mich schon gewundert... ;-)

also vorgehen ist richtig - nur bei der FALLUNTERSCHEIDUNG im 2. Schritt hast du halt komplexe zahlen mit drin