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DGL Partielle Integration?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

LukasG80 aktiv_icon

23:03 Uhr, 21.01.2012

Hallo,
kann mir jemand es erklären, wie man bei dieser Aufgabe weiter kommt? Die Lösung vom Prof. verstehe ich nicht...
Ich habe es mal ein bisschen versucht.

Gruß
L.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

23:56 Uhr, 21.01.2012

Hallo,

es ist alles richtig was Du gerechnet hast. Es ist

C (x) = 10 \cdot \int e^{4 x} \cdot sin (2 x) \cdot d x

Der Professor hat jetzt erst mal das Integral

\int e^{4 x} \cdot sin (2 x) \cdot d x

durch zweimalige partielle Integratiom berechnet. Da muß man den Faktor

10

nicht immer mitschleppen. Aber es geht auch mit Faktor

10

. Du hast da am Schluß stehen:

10 \cdot \int e^{4 x} \cdot sin (2 x) \cdot d x = - 5 \cdot e^{4 x} \cdot cos (2 x) + 10 \cdot e^{4 x} \cdot sin (2 x) - 40 \cdot \int e^{4 x} \cdot sin (2 x) \cdot d x | + 40 \cdot \int e^{4 x} \cdot sin (2 x) \cdot d x \Rightarrow

50 \cdot \int e^{4 x} \cdot sin (2 x) \cdot d x = - 5 \cdot e^{4 x} \cdot cos (2 x) + 10 \cdot e^{4 x} \cdot sin (2 x) | : 5 \Rightarrow

10 \cdot \int e^{4 x} \cdot sin (2 x) \cdot d x = - e^{4 x} \cdot cos (2 x) + 2 \cdot e^{4 x} \cdot sin (2 x)

Insgesamt also:

C (x) = 10 \cdot \int e^{4 x} \cdot sin (2 x) \cdot d x = - e^{4 x} \cdot cos (2 x) + 2 \cdot e^{4 x} \cdot sin (2 x) + C_{2}

Viele Grüße
Yokozuna

LukasG80 aktiv_icon

15:45 Uhr, 22.01.2012

O . K

. das hat mir sehr gut geholfen, aber ich habe da noch eine Frage, ich habe meine Lösung in die

Y

(Homogene) eingesetzt und der Prof. setzt das in die selbe ein, er nennt sie aber allgemeine Lösung. Ab welchen Punkt ist das die Allgemeine?
Ich dachte die Allgemeine Lösung wäre immer

Y +

Y(homo)

= Y

allgemein ?????

Yokozuna aktiv_icon

17:02 Uhr, 22.01.2012

Also wir haben zunächst die homogene Lösung

y_{h} = C \cdot e^{- 4 x}

.
Die partikuläre Lösung ist eigentlich dem Namen nach eine Lösung ohne Integrationskonstante, also in diesem Fall

y_{p} = 2 \cdot sin (2 x) - cos (2 x)

Die allgemeine Lösung ist dann die Summe aus homogener und partikulärer Lösung:
(I)

y = y_{h} + y_{p} = C \cdot e^{- 4 x} + 2 \cdot sin (2 x) - cos (2 x)

So habe ich das jedenfalls früher mal gelernt.

Wenn man die partikuläre Lösung über die Variation der Konstanten berechnet, bekommt man ja irgendwann

C (x) = 2 \cdot e^{4 x} \cdot sin (2 x) - e^{4 x} \cdot cos (2 x)

Setzt man dieses

C (x)

an Stelle von

C

in die homogene Lösung ein, bekommt man die partikuläre Lösung, also

y_{p} = C (x) \cdot e^{- 4 x} = (2 \cdot e^{4 x} \cdot sin (2 x) - e^{4 x} \cdot cos (2 x)) \cdot e^{- 4 x} = 2 \cdot sin (2 x) - cos (2 x)

Du und der Professor habt jedoch gleich bei der Berechnung von

C (x)

noch eine Integratioskonstante hinzufügt:

C (x) = 2 \cdot e^{4 x} \cdot sin (2 x) - e^{4 x} \cdot cos (2 x) + C_{2}

Wenn man nun dieses

C (x)

nun an Stelle von

C

in die homogene Differentialgleichung einsetzt, bekommt man sofort die allgemeine Lösung:

y = C (x) \cdot e^{- 4 x} = (2 \cdot e^{4 x} \cdot sin (2 x) - e^{4 x} \cdot cos (2 x) + C_{2}) \cdot e^{- 4 x} = 2 \cdot sin (2 x) - cos (2 x) + C_{2} \cdot e^{- 4 x}

Wie Du siehst, erhält man genau das gleiche wie bei

(I)

oben und es ist einfach Geschmackssache, welche der beiden Möglichkeiten man benutzt.

Zusatz: Häufig kommt man mit einem geeigneten Ansatz für die partikuläre Lösung schneller ans Ziel, als mit der Variation der Konstanten (hier war

z . B

. zweimalige partielle Integration notwendig). Mit dem Ansatz

y_{p} = A \cdot sin (2 x) + B \cdot cos (2 x)

geht es hier meiner Meinung nach schneller.

Viele Grüße
Yokozuna

LukasG80 aktiv_icon

17:41 Uhr, 23.01.2012

Ach jetzt versteh ich das, das war echt sehr gut erklärt, danke nochmals.
Viele Grüße
L.

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