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DGL-Resonanzfall

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen (EDIT mit konst. Koeff. und linear)

Harve aktiv_icon

18:14 Uhr, 19.07.2015

Hallo.

EDIT: (UPS, ich spreche von linearen DGL und von konst. Koeff.)

Die charakt. Gleichung hat die Lösung 0 und die komplexe Lösung

- 1 +

bzw

- i

Störglied

: 2 x

Da liegt ja einfache Resonanz vor, weil

allg. Form

P (x) \cdot

e^(ax) cos(bx) bzw.

P (x) \cdot

e^(ax) sin(bx)

bei 0 als NST hat man

P (x) e^{0 x} cos (0 x) = P (x) = 2 x

Passt also: einfache Resonanz

Hätte man jetzt ein Beispiel, wo die Kompl. NST ebenfalls Resonanz ,,auslöst''

passt mein obiger Ansatz dann für

P (x) \cdot

e^(ax) cos(bx) UND

P (x) \cdot

e^(ax) sin(bx) ?

ODER nur für eins der beiden? Hat da jmnd ein gutes Beispiel.

Ich weiß Komplexe NST. können nur gemeinsam Resonanz auslösen aber
wie is das mit der obigen Gleichung.

Und können verschiedene NST Resonanz auslösen beim gleichen Störglied?

mfg
Harve

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

pivot aktiv_icon

20:25 Uhr, 19.07.2015

Hallo,

wie sieht denn deine DGL aus ?

Harve aktiv_icon

22:24 Uhr, 19.07.2015

Ist vom Grad 3:

y'''

-2y"+

2 y = 2 x

Yokozuna aktiv_icon

23:30 Uhr, 19.07.2015

Hallo,

die von Dir genannte DGL ist von der Ordnung 3 und vom Grad

1,

aber das nur nebenbei. Diese DGL passt nicht zu den von Dir genannten Lösungen des charakteristischen Polynoms

(0, - 1 + i, - 1 - i)

. Zu diesen Lösungen des charakteristischen Polynoms würde folgende DGL passen:

y''' + 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = 2 \cdot x

Sieht die DGL so aus oder doch noch anders?

Viele Grüße

Yokozuna

Harve aktiv_icon

23:54 Uhr, 19.07.2015

Ja, ich habe mich vershcrieben.

y'

statt

y

Yokozuna aktiv_icon

23:59 Uhr, 19.07.2015

Und wie sieht es mit den Vorzeichen aus?

y''' + 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = 2 \cdot x

oder

y''' - 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = 2 \cdot x

Harve aktiv_icon

00:12 Uhr, 20.07.2015

Vorzeichen habe ich richtig gepostet

mfg

Yokozuna aktiv_icon

00:25 Uhr, 20.07.2015

Also dann

y''' - 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = 2 \cdot x

Die Lösungen des charakteristischen Polynoms sind in diesem Fall

0, 1 + i

und

1 - i

.

Aber Dir geht es ja darum, ob Resonanz vorliegt oder nicht. Resonanz liegt dann vor, wenn die Störfunktion

(

in diesem Fall

2 \cdot x)

Lösung der zugehörigen homogenen DGL

y''' - 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = 0

ist.

Da

y = 2 \cdot x

die homogene DGL

y''' - 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = 0

nicht löst, liegt auch keine Resonanz vor.

Viele Grüße

Yokozuna

Harve aktiv_icon

00:37 Uhr, 20.07.2015

Nee, das glaube ich ehrlich gesagt überhaupt nicht.

Ich weiß, dass Resonanz vorliegt, wenn eine Lösung der charakteristischen Gleichung
im Störterm in der Form

Px) e^(ax) cos(bx) oder Px) e^(ax) sin(bx) vorkommt.

die NST 0 kann man umschreiben als

0 \pm 0 i = a \pm

2 x = 2 x e^{0 x} cos (0 x) = 2 x \to

einfache Resonanz

bei der anderen Komplexen NST keine Resonanz.

Meine Frage war: wenn bei einer echten komplexen NST Resonanz vorliegt, ob

dann beide Terme erfüllt werden den mit cos(bx) und den mit sin(bx)

Yokozuna aktiv_icon

01:03 Uhr, 20.07.2015

Für die DGL

y''' - 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = 2 \cdot x

hat das charakteristische Polynom die drei Nullstellen

0, 1 + i

und

1 - i

. Dazu gehören dann die drei Fundamentallösungen

y_{1} = C_{1} \cdot e^{0 \cdot x} = C_{1} \cdot e^{0} = C 1

y_{2} = C_{2} \cdot e^{x} \cdot cos (x)

y_{3} = C_{3} \cdot e^{x} \cdot sin (x)

mit Konstanten

C_{1}, C_{2}

und

C_{3}

(woher bei Dir die

P (x)

herkommen, weiß ich nicht)

Allgemein, wenn man konjugiert komplexe Lösungen

a \pm b \cdot i

hat, lauten die beiden zugehörigen Fundamentallösungen

y_{2} = C_{2} \cdot e^{a \cdot x} \cdot cos (b \cdot x)

bzw.

y_{3} = C_{3} \cdot e^{a \cdot x} \cdot sin (b \cdot x)

Bei der gegebenen Aufgabe ist

a = 1

und

b = 1

. Die Nullstelle 0 hat mit den komplexen Fundamentallösungen nichts zu tun, die gehört nur zur Fundamentallösung

y_{1} = C_{1}

(Du kannst da nicht einfach

a = 0

und

b = 0

setzen).

Die Störfunktion

2 \cdot x

lässt sich weder durch

y_{1}

noch durch

y_{2}

noch durch

y_{3}

und auch nicht durch eine Kombination der drei Fundamentallösungen darstellen, also liegt auch keine Resonanz vor.

Viele Grüße

Yokozuna

Harve aktiv_icon

01:29 Uhr, 20.07.2015

Also ich hab eine DGL, wo ich die Musterlösung zu habe.

Bild

1 : A 2 a

es geht erstmal nur für den Störteil

6 x

Lösung 1 (Bildname): 0 ist eine doppelte Nullstelle und

- 1

eine einfache.

Lösung 2: Bestätigt für den Störteil

6 x

liegt doppelte Resonanz vor.
Weil 0 eine doppelte NST ist und

P (x) = 6 x \cdot e^{0 x} \cdot cos (0 x) = 6 x

ist (Das ist in der Musterlösung nicht explizit erwähnt, aber in der Vorlesung (letztes Bild) )

Du würdest mir bestimmt wieder sagen es liege keine Resonanz vor ?!

Yokozuna aktiv_icon

02:26 Uhr, 20.07.2015

Also, für die DGL

y''' + y'' = 6 \cdot x + e^{- x}

haben wir als Lösung für die zugehörige homogene DGL

y''' + y'' = 0

y_{h} = C_{1} + C_{2} \cdot x + C_{3} \cdot e^{- x}

Der Bestandteil

6 \cdot x

der Störfunktion ist mit

C_{1} = 0, C_{2} = 6

und

C_{3} = 0

eine Lösung der zugehörigen homogenen DGL. Deshalb liegt hier auch Resonanz vor. Ebenso ist der Bestandteil

e^{- x}

mit

C_{1} = 0, C_{2} = 0

und

C_{3} = 1

eine Lösung der zugehörigen homogenen DGL. Deshalb liegt auch hier Resonanz vor. Was Du da immer mit dem

cos

hast, weiß ich nicht. Der

cos

kommt nur bei komplexen Nullstellen des charakteristischen Polynoms vor, aber bei dieser Aufgabe haben wir nur reelle Nullstellen.

Wie ich oben bereits erwähnte, kann man für eine Störfunktion (oder einen additiven Bestandteil der Störfunktion) leicht feststellen, ob Resonanz vorliegt oder nicht, indem man prüft, ob die Störfunktion (oder ein additiver Bestandteil davon) Lösung der zugehörigen homogenen DGL ist oder nicht:

Störfunktion ist Lösung der homogenen DGL

\Rightarrow

Resonanz
Störfunktion ist keine Lösung der homogenen DGL

\Rightarrow

keine Resonanz

Beispiel:

y = 6 \cdot x \Rightarrow y' = 6, y'' = 0, y''' = 0

Eingesetzt in die homogene DGL

y''' + y'' = 0 + 0 = 0 \Rightarrow

y = 6 \cdot x

ist Lösung der homogenen DGL, deshalb Resonanz.

y = e^{- x} \Rightarrow y' = - e^{- x}, y'' = e^{- x}, y''' = - e^{- x}

Eingesetzt in die homogene DGL

y''' + y'' = - e^{- x} + e^{- x} = 0 \Rightarrow

y = e^{- x}

ist Lösung der homogenen DGL, deshalb Resonanz.

Nochmal zurück zur ursprüngliche Aufgabe

y''' - 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = 2 \cdot x :

y = 2 \cdot x \Rightarrow y' = 2, y'' = 0, y''' = 0

Eingesetzt in die homogene DGL

y''' - 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = 0 - 2 \cdot 0 + 2 \cdot 2 = 4 \neq 0 \Rightarrow

y = 2 \cdot x

ist keine Lösung der homogenen DGL, deshalb keine Resonanz.

Für folgende Störfunktionen beispielsweise würde dagegen Resonanz vorliegen (für alle Bestandteile der Störfunktion)):

y''' - 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = 5

y''' - 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = - 4711 \cdot e^{x} \cdot sin (x)

y''' - 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = 13 - 28 \cdot e^{x} \cdot cos (x) + π \cdot e^{x} \cdot sin (x)

Viele Grüße

Yokozuna

Harve aktiv_icon

04:47 Uhr, 20.07.2015

www2.htw-dresden.de~mvoigt/m2-ab5.pdf
(Link geht nicht, habe es in 2 Bildern angehängt)

Laut dieser Seite gilt:

Resonanzfall:

-)

Ein Teil (Summand) des obigen Ansatzes ist bereits Losung der homogenen DGL.

Nicht wie du schilderst : ein Teil des Störgliedes

Ich glaube das ist ein Unterschied

Außerdem bei der Aufgabe : y"'-2y"

+ 2 y' = 2 x

Ist laut Musterlösung : der ansatz für die partikuläre Lösung:

x \cdot

(Ax+B)
Was, wenn ich mich nicht täusche, bedeutet, dass einfache Resonanz vorliegt.

Yokozuna aktiv_icon

15:35 Uhr, 20.07.2015

Sorry, ich war am Vormittag unterwegs und ich musste mich erst noch ein wenig mit der Definition von Resonanz, so wie Du sie gepostet hast, auseinandersetzen.

Also, die Definition von Resonanz, die ich verwendet habe (Störfunktion oder additiver Teil davon ist Lösung der homogenen DGL), habe ich früher so während meines Studiums gelernt. Wenn man mal ein wenig zu diesem Thema googelt, findet man häufig gar keine vernünftige Definition von Resonanz oder die von mir verwendete Definition.

Die von Dir gepostete Definition von Resonanz unterscheidet sich von der von mir verwendeten Definition und ich sehe diese Definition zum ersten mal. Wie Du ja bereits erwähnt hast, macht es natürlich einen Unterschied, ob man die Störfunktion bzw. additive Teile davon betrachtet oder Summanden des Lösungsansatzes für die Störfunktion. Deshalb kommt man mit den beiden Definitionen nicht immer zum gleichen Ergebnis bzgl. der Resonanz.

So liegt bei dem Beispiel

y''' - 2 \cdot y'' + 2 \cdot y' = 2 \cdot x

nach der von mir verwendeten Definition keine Resonanz vor, nach der von Dir verwendeten Definition dagegen schon, weil der Term

B

des Ansatzes

A \cdot x + B

eine Lösung der homogenen DGL ist.

Ich finde die von Dir gepostete Definition von Resonanz besser, weil man damit ein Rezept erhält, ob man ggf. den Ansatz noch mit einem Faktor

x^{k}

multiplizieren muss oder nicht.

Da habe ich also noch was Neues gelernt. Man ist offenbar nie zu alt dazu.

Viele Grüße

Yokozuna

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