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DGL-System

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

schalkeboy aktiv_icon

19:32 Uhr, 16.05.2016

Wir haben eine homogene DGL n-ter Ordnung und dazu sollen wir ein Fundamentalsystem bestimmen:

y'' - 4 y' + 13 y = 0

Methode

1) :

Mein Ansatz wäre, die DGL in 1 Ordnung umzuwandeln um folgende form zu erhalten:

u' = A \cdot u,

wobei A dann eine nxn Matrix ist.

Dann könnte ich die Eigenwerte der Matrix A berechnen und die dazu gehörigen Eigenvektoren und somit hätte ich ein Fundamentalsystem

Methode

2)

Nun sehe ich aber Erklärungen im Internet, welche die Umwandlung in 1. Ordnung nicht machen, sie gehen vor in dem sie die Eigenwerte direkt berechnen:

p(λ)

= λ^{2}

−

4 λ + 13 = 0

\Rightarrow λ_{1} = 2 + 3 i

und

λ_{2} = 2 - 3 i

Folglich bildet:

e^{2 t} cos (3 t), e^{2 t} sin (3 t)

ein Fundamentalsystem.

Nun verstehe ich nicht, wieso man bei dieser Methode ohne die Umwandlung keine Eigenvekoren braucht?

Laut der ersten methode hätten wir ja eine Matrix folgender Form:

e^{2 t} cos (3 t) \cdot

Eigenvektor (1.Spalte der Matrix)

e^{2 t} sin (3 t \cdot

Eigenvektor (2.Spalte der Matrix)

welche Methode ist die korrekte lösung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:52 Uhr, 16.05.2016

Hallo
beide Methoden sind richtig, für lineare Dgl ist die direkte Methode meist einfacher und schneller, Aber man muss lernen aus Dgl höherer Ordnung ein System erster Ordnung zu machen
1. da es nur dafür die Eindeutigkeitsbeweise gibt,
2. weil die fertigen Routinen von Programmen und selbst geschriebenen numerische Programme fast nur DGl Systeme erster Ordnung lösen.
Was du über die matrix schreibst verstehe ich nicht, wenn du in erste Ordnung Umformst hast du doch eine System

(y_{1}, y_{2}) = (y, y')

die allgemeine Lösung der Dgl ist

y (t) = A \cdot e^{2 t} \cdot sin (3 t) + B \cdot e^{2 t} \cdot cos (3 t)

dass

p (λ)

dasselbe ist wie

det (A - E \cdot λ) = 0

weisst du , die EV sind dann leicht zu bestimmen und du hast immer

y

und

y'

Was du mit deiner Rechnung am Ende sagst verstehe ich nicht
Gruß ledum

schalkeboy aktiv_icon

20:12 Uhr, 16.05.2016

"Was du mit deiner Rechnung am Ende sagst verstehe ich nicht"

Nehmen wir doch das Beispiel von oben:

y'' - 4 y' + 13 y = 0

umgewandelt in erster Ordnung:

U' = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 13 & 4 \end{matrix}) \cdot U

A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 13 & 4 \end{matrix})

die Eigenwerte zu

A :

λ_{1} = 2 + 3 i

und

λ_{2} = 2 - 3 i

Eigenvektor zu

λ_{1} : 2 + 3 i

(\begin{matrix} 2 + 3 i \\ 13 \end{matrix})

Eigenvektor zu

λ_{2} = 2 - 3 i

(\begin{matrix} 2 - 3 i \\ 13 \end{matrix})

=>Fundamentalsystem ist eine

2 x 2

Matrix.

(\begin{matrix} e^{2} t \cdot cos 3 t \cdot (2 + 3 i) & e^{2} t \cdot sin 3 t \cdot (2 - 3 i) \\ e^{2} t \cdot cos 3 t \cdot 13 & e^{2} t \cdot sin 3 t \cdot 13 \end{matrix})

.

Bei der ersten Methode werden die Eigenvektoren irgendwie völlig ignoriert.
Bei der ersten Methode haben wir keine Matrix als Fundamentalsystem.

ledum aktiv_icon

22:04 Uhr, 16.05.2016

Hallo
1.deine Eigenvektoren sind falsch
2. du mischst die komplexe Darstellung mit der reellen mit den Eigenwerten bekommst du das System

e_{1}, e_{2}

Eigenwerte

e^{λ_{1} \cdot t} \cdot e_{1}, e^{λ_{2} \cdot t} \cdot e_{2};

Lösungen für

U = {(y, y')}^{T}

sind
daraus kannst du dann 2 reelle Lösungen herstellen durch Addition und Subtraktion der 2 komplexen.

wenn man

y (t)

kennt, dann natürlich auch

y'

mit den 2 linear unabhängigen Lösungen

y = e^{λ_{1} \cdot t}

und

y = e^{λ_{2} \cdot t}

kennst du natürlich auch

y' = λ \cdot e^{λ \cdot t}

also die zweite Komponente des Vektors U.
Daran war auch sofort klar, dass dein EV falsch ist.
richtig ist

e_{1} = {(1, λ_{1})}^{T} e_{2} = (1, λ_{2})

Also kurz, bei solchen Dgl ist die erste Methode schneller, und einfacher, und wenn du noch

y'

haben willst ist es einfach.
das System mit den Vektoren ist wirklich nut theoretisch und nicht praktisch nützlich

schalkeboy aktiv_icon

04:02 Uhr, 17.05.2016

Ich verstehe noch nicht so den Unterschied zwischen beide Methoden, machen wir mal beide Methoden mit einem einfacheren Beispiel.

x'' + x = sin (t)

Methode

1)

in erste ordnung gebracht:

U' = (\begin{matrix} u_{1}' \\ u_{2}' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) \cdot u + ((0), (sin (t))

Eigenwerte:

λ_{1} = - i

λ_{2} = i

Eigenvektoren:

e_{1} = (\begin{matrix} i \\ 1 \end{matrix})

e_{2} = (\begin{matrix} - i \\ 1 \end{matrix})

Komplexes Fundamentalsystem:

Y_{ℂ} = [(\begin{matrix} i \\ 1 \end{matrix}) \cdot e^{- i t}, (\begin{matrix} - i \\ 1 \end{matrix}) \cdot e^{i t}]

umgewandelt in Reelles Fundamentalsystem:

Y_{ℝ} = (\begin{matrix} sin (t) & cos (t) \\ cos (t) & - sin (t) \end{matrix})

Methode

2)

x'' + x = sin (t)

λ^{2} + 1 = 0

Eigenwerte:

λ_{1} = - i

λ_{2} = i

\Rightarrow

Komplexes Fundamentalsystem:

{e^{- i t}, e^{i t}}

Umgewandelt ins reelle Fundamentalsystem:

{cos (t), - sin (t)}

Bei der ersten Methode haben wir eine Matrix als Fundamentalsystem bei der 2 Methode keine matrix als Fundamentalsystem. Was sind die genauen unterschiede?

"das System mit den Vektoren ist wirklich nut theoretisch und nicht praktisch nützlich"

naja wir haben folgende Formel für die LÖsung eines homogenen Systems: Sei

Y (t)

Fundamebtalsystem

\Rightarrow x (t) = Y (t) \cdot Y {(t_{0})}^{- 1} \cdot x_{0}

also st es ja auch praktisch nützlich.

wie lautet die Formel für

x (t)

bei der 2.methode???

ledum aktiv_icon

12:55 Uhr, 17.05.2016

Hallo
1. aus deinem Fundamentalsystem

y_{ℝ}

kannst du ablesen

y_{1}

hat die Fundamentallösungen

sin (t), cos (t),

y_{1}'

die Fundamentallösung,

cos (t), - sin (t)

das zweite ist uninteressant weil du es auch aus dem ersten ablesen kannst.
aus dem 2 ten Verfahren hast du dasselbe. was bringt dir deine Matrix denn in Wirklichkeit anderes? du suchst doch Lösungen für dein ursprüngliches Problem

x'' + x = 0

und die hast du mit der ersten und zweiten Methode
als

x (t) = A \cdot sin (t) + B \cdot cos (t)

Anfangsbedingung

x (0) = x_{0} x' (0) = x'_{0}

ergibt

x_{0} = A \cdot sin (0) + B \cdot cos (0) = B

x'_0=-Acos(0)-B*sin(0)=A
Lösung der homogenen mit Anfangsbed ist also

x (t) = x'_{0} \cdot sin (t) + x_{0} \cdot cos (t)

x' (t)

durch ableiten
also dasselbe wie deine Formel.
mit dem System rechnest du nur parallel zu

x (t)

auch noch

x' (t)

aus ein unnötiger Aufwand, wenn man kein Programm verwendet, das in jedem Schritt

x'

braucht.
warum du wieder als Eigenvektoren

(λ,1)

verwendest statt

(1, λ)

verstehe ich nicht, hier sind sie wenigstens nicht falsch, da jedes Vielfache eines EV wieder EV ist.
welche EV verwendest du für das reelle System?
es scheint mir so als seist du mehr an fertigen Endformell interessiert als an begründeten Verfahren.
lös mal mit deinem System

x'' + r \cdot x' + k \cdot x = f \cdot sin (a \cdot t) a \neq \sqrt{k}, k > 0

(allgemeine Schwingungsgleichung mit Reibung und äusserer Anregung)
und dasselbe direkt.
Gruß ledum

schalkeboy aktiv_icon

16:19 Uhr, 17.05.2016

"warum du wieder als Eigenvektoren (λ,1) verwendest statt (1,λ) verstehe ich nicht"

ich habe ganz normal die EV berechnet und das hat sich ergeben:

(A - λ \cdot E) = 0

(\begin{matrix} i & 1 \\ - 1 & i \end{matrix}) = (0,0)

(i)

i x + y = 0

(ii)

- x + i y

Aus gleichung (ii) folgt:

- x + i y \Leftrightarrow x = i y

Setze

y = 1

\Rightarrow x = i

Somit Eigenvektor

(\begin{matrix} i \\ 1 \end{matrix})

wo ist das problem? oder was soll daran besser sein wenn ich

(\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix})

als EV nehme?

schalkeboy aktiv_icon

16:50 Uhr, 17.05.2016

nehmen wir als Beispiel ein einfacheres Beispiel:

u'' + w^{2} u = sin (2 w t)

mit

u (0) = u_{0}, u' (0) = u_{1},

Eigenwerte:

λ_{1} = i w

λ_{2} = - i w

Komplexes Fundamentalsystem:

{e^{(i w) \cdot t}, e^{(- i w) t}}

\Rightarrow

Reelles Fundamentalsystem:

{cos (w t), sin (w t)}

x (t) = A \cdot cos (w t) + B \cdot sin (w t)

Anfangswerte einsetzen:

x (t) = u_{0} cos (w t) + u_{1} sin (w t)

das passt so oder?

und was ist mit der speziellen lösung, weil es inhomogen ist.

ledum aktiv_icon

17:23 Uhr, 17.05.2016

Hallo
1. warum noch ein Bsp?
was war an dem anderen ausser

ω^{2} = 1

denn anders?
2. Anfangswerte für die homogene dgl einzusetzen. wenn man eine einhomogene hat ist recht sinnlos, da die AW ja für die gesamte Lösung gelten müssten. wenn du nur die homogene hast ist es richtig.
die inhomogene Lösung findest du mit dem Ansatz rechte Seite: y=Csin(2\omega*t) da

sin (2 ω \cdot t)

nicht Lösung der homogenen Dgl ist.

y'' = - C \cdot 4 ω^{2} \cdot sin (2 ω \cdot t)

eingesetzt
ergibt sich

C \cdot (- 4 ω^{2} + w^{2}) = 1

also

C =

?
zum post davor
mit Ax=\lambda

x

ergibt sich mit deinem

A x 2 \frac{=}{λ} \cdot x 1 x 1 = 1 x 2 = λ

. immer aus der ersten Zeile von

A (01)

bei Gleichungen nur

x'', x'

und

x

also nur

x 1' = x 2

ist das immer die vernünftigste Lösung, besonders, da du ja an

x_{1}

und eigentlich nicht an

x 2 = x 1'

interessiert bist.
dass das besser ist bewiesen deine völlig falschen EV für die ursprüngliche Aufgabe!
nochmal die Frage was hast du für EV für das reelle System?
wie kommst du vom komplexen zum reellen System?
Gruß ledum

schalkeboy aktiv_icon

17:38 Uhr, 17.05.2016

"nochmal die Frage was hast du für EV für das reelle System?
wie kommst du vom komplexen zum reellen System?"

mit der eulerschen formel komme ich drauf.

Komplexes FMS

{e^{(i w) t}, e^{(- i w) t}}

es reicht ja nur eins zu betrachten , also entweder

e^{(i w) t}

oder

e^{(- i w) t} :

e^{(i w) t} = cos (w t) + i sin (w t)

Realteil=cos

(w t)

Imaginärteil=sin

(w t)

=>Reelles FMS

{cos (w t), sin (w t)}

passt doch so oder?

ledum aktiv_icon

19:30 Uhr, 17.05.2016

das reelle System ist zwar richtig aber nicht richtig bestimmt.
wenn du 2 linear unbar. Lösungen eines lin. Dgl hast ist jede Linearkombination wieder Lösung:

d . h

. die Addition der 2 komplexen Lösungen ergibt

2 \cdot cos (ω \cdot t)

die Subtraktion der mit

i

mult. Lösungen

2 \cdot sin (ω \cdot t)

der andere Weg, ist direkt zu zeigen, dass sin und

cos

Lösungen sind.
und wie kommst du im Fall des Systems auf die zugehörigen EW die sollten doch wohl auch reell sein?
Gruß ledum

schalkeboy aktiv_icon

22:13 Uhr, 17.05.2016

wieso denn jetzt

2 \cdot cos (w t)

und

2 sin (w t) .

?
muss ich doch beide komplexe eigenwerte betrachten? dachte eins reicht.

relle Eigenwerte?

i w

sind komplexe.wie kann ich es ins relle umwandeln? da kenn ich mich leider nicht aus.
ist ja aber auch nicht nötig für die aufgabe oder?

ledum aktiv_icon

01:00 Uhr, 18.05.2016

Hallo
es ging um die reellen Eigenvektoren EV wenn du deine reelle Lösungsmatrix benutzen willst.
ob das Fundamentalsten aus 2sin und

2 cos

besteht oder 17sin und

122 cos

oder...

1 \cdot sin 1 \cdot cos

ist egal da jede Linearkombination eine Lösung ist.
och hoffe die Diskussion ist zu Ende und du hakst ab.
Gruß ledum

schalkeboy aktiv_icon

01:10 Uhr, 18.05.2016

Ist sie wohl.
vielen dank.

Nur hätte ich eine andere Frage zu einer anderen Aufgabe, ich stell es sofort hier rein.
Ich soll von der Matrix A ein fundamentalsystem bestimmen.

A = (\begin{matrix} - 6 & 4 & 1 \\ - 12 & 8 & 2 \\ - 8 & 4 & 2 \end{matrix})

Eigenwerte:

λ_{1} = 0

λ_{2,3} = 2

Eigenvektoren:

zu

λ_{1} (\begin{matrix} 0,5 \\ 0,5 \\ 1 \end{matrix})

λ_{2} (\begin{matrix} 0,5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

ich finde aber nur ein Eigenvektor zu

λ 2

. Brauche ich aber nicht 2 linear unabhängige EV zu

λ 2

? weil es die vielfachheit 2 hat.

ledum aktiv_icon

01:16 Uhr, 18.05.2016

Hallo
neue Aufgaben bitte in neuem thread.
leis nach was man macht, wenn man zu wenig EV hat.
Also beende diesen thread hier und fang mit der Frage, nachdem du dich schlau gemacht hast

,

in einem neuen thread an.
Gruß ledum

schalkeboy aktiv_icon

01:31 Uhr, 18.05.2016

alles klar.

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