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DGL System mit doppelter Nullstelle

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Stoppi aktiv_icon

17:42 Uhr, 29.03.2014

Hallo liebe Leute :-)

Ich hab mal wieder ein kleines Verständnisproblem.
Gegeben sei folgendes DGL System (bereits in matrix Form):

A = (\begin{matrix} - 2 & - 1 \\ 4 & 2 \end{matrix})

det (A - λ E) = (\begin{matrix} - 2 - λ & - 1 \\ 4 & 2 - λ \end{matrix}) \Rightarrow

ergibt sich zu

λ_{1} = λ_{2} = 0

Wie gehe ich nun bei den Eigenvektoren vor, die ich um eine spezielle Lösung zu erhalten, berechnen muss?

Ich hab also einmal

λ

in meine Matrix eingesetzt und erhalte für

y_{1} = - \frac{1}{2}

und

y_{2} = 1

.

Da ich aber im Prinzip zwei

λ

habe , brauche ich ja auch noch einen Eigenvektor. Wie komme ich dann dazu?

In der Ausarbeitung dieses Beispiels von einem Studenten berechnet dieser den Eigenvektor zu

λ_{1}

und den Hauptvektor dazu:

Hauptvektor zu

λ_{1} :

(\begin{matrix} - 2 & - 1 \\ 4 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} y_{3} \\ y_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix})

\Rightarrow y_{3} = \frac{1}{4}

und

y_{4} = 0

und damit zu

v_{2} = (\begin{matrix} \frac{1}{4} \\ 0 \end{matrix})

Ist das so richtig? Mache ich das immer so, wenn ich eine doppelte Nullstelle habe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

20:41 Uhr, 29.03.2014

In diesem Fall gibt's nur einen Eigenvektor (natürlich modulo Multiplikation mit einem Faktor). Nicht immer hat man Basis aus Eigenvektoren, das ist nur für symmetrische Matrizen garantiert.

Was "der Student" in diesem Fall macht, ist schon richtig, aber das ist etwas komplizierter als einfach Eigenvektoren zu berechnen. Es geht dabei um die sogenannte Jordansche Normalform: de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform

Stoppi aktiv_icon

17:52 Uhr, 30.03.2014

Oke, ist eigentlich eh klar, dass es nur einen EV gibt. Aber, ist die Sache damit gegessen? Ich muss das dann schon so weiterführen, wie "der Student" das gemacht hat oder? Werde mir das auf Wikipedia mal durchlesen! Danke!

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