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DGL Transformation

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: DGL, DGl 1. Ordnung, Gewöhnliche Differentialgleichungen

123Anonym aktiv_icon

12:12 Uhr, 06.11.2020

Guten Tag,

ich versuche mich gerade an zwei Übungsaufgaben um mich auf die Klausur vorzubereiten. Dabei bin ich auf etwas gestoßen, was immer dran kommt aber wir noch nicht in der Vorlesung hatten. Dabei ist die Aufgabe, dass man die folgenden DGL durch eine geeignete Transformation u=u(x) auf Gleichungen mit getrennten Variablen zurückführen soll.

1.

y ʹ = f (α x + β y + γ)

y ʹ = f (y / x)

Was genau soll man hier machen und wie geht man da vor?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

12:21 Uhr, 06.11.2020

Wenn du

y^{ʹ} = f (y / x)

hast, dann führst du die neue Funktion

z = y / x

. Für diese gilt

z^{ʹ} = y^{ʹ} / x - y / x^{2}

. Also aus

y^{ʹ} = f (y / x)

folgt

y^{ʹ} = f (z)

, dann

y^{ʹ} / x = f (z) / x

und dann

y^{ʹ} / x - y / x^{2} = f (z) / x - y / x^{2}

.
Aber

y / x^{2} = (y / x) / x = z / x

und

y^{ʹ} / x - y / x^{2} = z^{ʹ}

.
Damit hast jetzt

z^{ʹ} = f (z) / x - z / x = \frac{f (z) - z}{x}

und man kann die Variablen trennen.

123Anonym aktiv_icon

14:42 Uhr, 06.11.2020

Wie kann ich denn f(z) integrieren? Schreibt man dann einfach F(z) oder wie genau macht man das. Und was macht man wenn mann die Variablen getrennt hat?

DrBoogie aktiv_icon

14:48 Uhr, 06.11.2020

"Wie kann ich denn f(z) integrieren? Schreibt man dann einfach F(z) oder wie genau macht man das."

Normalerweise integriert man nur, wenn man eine konkrete Funktion hat, sonst ist es weniger sinnvoll. Man kann höchstens

\int_{x_{0}}^{x} f (t) d t

schreiben.

"Und was macht man wenn mann die Variablen getrennt hat?"

Integrieren.

123Anonym aktiv_icon

15:32 Uhr, 06.11.2020

Wenn ich die Variablentrennung vorneheme komme ich auf

t / d t = \frac{f (z) - z}{d z}

. Dann muss man doch f(z) integrieren. Oder sollte man etwas anderes machen? Ich stehe gerade leider etwas auf dem Schlauch.

DrBoogie aktiv_icon

15:42 Uhr, 06.11.2020

Du hast am Anfang geschrieben:

"Dabei ist die Aufgabe, dass man die folgenden DGL durch eine geeignete Transformation u=u(x) auf Gleichungen mit getrennten Variablen zurückführen soll."

Es steht nichts von "Aufgabe lösen", sondern nur dass man die Variablen trennen soll.
Wie schon gesagt, mit einer allgemeinen

f

kann man es auch nicht wirklich lösen.
Aber ich glaube nicht, dass es gefragt ist.

123Anonym aktiv_icon

15:55 Uhr, 06.11.2020

Okay. Vielen Dank.

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