DGL einer gebrochen Rationalen Funktion

Hallo zusammen!

Ich soll die Differentialgleichung für folgende gebrochen rationalen Funktion aufstellen

${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

des weiteren gilt ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ne 0}$

Ich hab da jetzt folgendes gemacht:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \Rightarrow \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\frac{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \\ \Rightarrow \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \end{gathered}$$

Jetzt habe ich einmal abgeleitet um a zu eliminieren

$$\begin{gathered} {\displaystyle \Rightarrow {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \end{gathered}$$

Jetzt habe ich nochmal abgeleitet um b zu eliminieren

${\displaystyle \Rightarrow {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }(\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+{2\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$

Lieg ich da jetzt richtung oder bin ich hier auf der völlig falschen Fährte?

Gruß

Andreas

Also die genaue Aufgabenstellung lautet:

Stellen Sie die Differentialgleichung für die Schar der gebrochen rationalen Funktion mit linearem Zähler und linearem Nenner ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ mit ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ne 0}$ auf! Wieviele Parameter hat diese Funktion und welche Kurven werden von ihr dargestellt?

Na aber wenn ich das jetzt wie oben in meinem Beitrag umstelle und dann zweimal ableite um die Konstanten zu eliminieren, dann müsste ich doch zu der in der Aufgabenstellung verlangten Differentialgleichung kommen, oder?

Alles klar! Das bekomm ich hin!

Vielen Dank!

Gruß,

Andreas