Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » DGL einordnen und richtigen Ansatz wählen

DGL einordnen und richtigen Ansatz wählen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Ansatz, Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gamert aktiv_icon

22:00 Uhr, 23.12.2014

Hallo :-)

ich bin neu, was DGL-Berechnung angeht.
So wie ich das sehe, gibt es einige Typen von inhomogenen DGLs erster Ordnung.
Das Problem konkret ist die Störfunktion.
Wann ich welchen Ansatz wählen muss:
1.Störfunktion als:

A) e^{x}; B) sin (x), C) cos (x), D)

x^3+x^1+Zahl
Dafür gibt es eine Tabelle mit Ansätzen, allerdings weiss ich nicht immer ob das passt.
Manchmal sieht es auf der rechten Seit so aus:
y´=y^2*sin(x)

= \Rightarrow

was für Ansatz wähle ich da? A? (Quadrat ist Polynom?) B?
oder
y´´+8y=cos(2x)+sin(3x)
Auf der rechten Seite ist es nun ein

+

Zeichen. Spielt das irgendeine Rolle für den Ansatz?

2)

Wann wähle ich die Vorgehensweise mit der variierten Konstante?

3)

Wann wähle ich die Vorgehensweise mit der Trennung der Variablen?

Ich bitte um Beispiele, wie die Funktion aussieht und wie man Schritt für Schritt was betrachten muss, um die richtige Vorgehensweise zu wählen.
Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Loewe1

10:19 Uhr, 24.12.2014

Hallo,

- Das Problem konkret ist die Störfunktion.Wann ich welchen Ansatz wählen muss:
1.Störfunktion als: A)ex;B)sin(x),C)cos(x),D) x^3+x^1+Zahl
Dafür gibt es eine Tabelle mit Ansätzen, allerdings weiss ich nicht immer ob das passt.

Doch das passt immer, hier ein Beispiel Link:

http//micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Wenn die Störfunktion als Summe auftritt, mußt Du summandweise den Ansatz per Tabelle wählen:

-Manchmal sieht es auf der rechten Seite so aus:
y´=y^2*sin(x) =⇒ was für Ansatz wähle ich da? A? (Quadrat ist Polynom?) B?

y´=y^2*sin(x) (falls die Aufgabe so lautet)
Hier ist es am zweckmäßigsten, Trennung der Variablen durchzuführen.
Du mußt nicht immer jedesmal den Weg über die Störfunktion gehen.

y' = y^{2} \cdot sin (x)

\frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot sin (x)

\frac{d y}{y^{2}} = sin (x) \cdot d x

oder
y´´+8y=cos(2x)+sin(3x)
Auf der rechten Seite ist es nun ein

+

Zeichen. Spielt das irgendeine Rolle für den Ansatz?

k^{2} + 8 = 0

k = \pm i \cdot 2 \sqrt{2}

y_{h} = A cos (2 \sqrt{2} \cdot x) + B sin (2 \sqrt{2} \cdot x)

Wie gesagt, summandweiser Ansatz:

cos (2 x) : y_{p 1} = A cos (2 x) + B sin (2 x)

sin (3 x) : y_{p 2} = C cos (3 x) + D sin (3 x)

y_{P} = y_{p 1} + y_{p 2}

2)Wann wähle ich die Vorgehensweise mit der variierten Konstante?
Oft .wenn Methode unter 3 nicht funktioniert.

3)Wann wähle ich die Vorgehensweise mit der Trennung der Variablen?

Prüfe zuerst , ob es möglich ist alles mit

x

oder

y

jeweils auf eine Seite zu bringen.

Empfehlung:

Verwende zur Lösung von DGL 1. Ordnung : Trennung der Variablen und Variation der Konstanten

Verwende zur Lösung von DGL 2. Ordnung : Methode über die Störfunktion (mit Tabelle)

Allgemein:

Wie gesagt ,es sind nur meine Erfahrungen . Du kannst auch für die Lösung einer DGL
3 Verfahren anwenden, es ist machmal Geschmacksache .

Frag ruhig , was Du was nicht verstanden hast.

Frohe Weihnachten an Dich

:-)

Gamert aktiv_icon

14:05 Uhr, 24.12.2014

Vielen Dank für deine Hilfe.
Die Verfahren an sich anzuwenden, kann ich soweit. Es fehlt mir noch am Durchblick, wann ein Verfahren am leichtesten ist. Ich schreibe bald eine Klausur und da muss ich auf Anhieb erkennen können, welches Verfahren ich jetzt nehmen soll.
Einfach nur sagen, welches Verfahren angebracht ist:

1. Auf der rechten Seite als Störfunktion ist ein Polynom.

z . B

y´

+ 5 y = x^{3} + x

2. Auf der Rechten Seite ist ein Produkt aus

e, sin, cos,

polynom:

z . B

y´+

5 y = sin (4 x) \cdot e^{5} x \cdot x^{3}

Kann ich allgemein sagen, dass wenn ein Produkt auf der rechten Seite ist, egal mit welchen Funktionen(cos,

sin, e,

polynom), dann ist Trennung der Variablen angebracht?
Denn laut deinem Link ist ganz Oben:
y´=

f (x) \cdot g (x)

f

und

g

könnten sein:

sin (x) \cdot x^{3} + x^{2}

Wäre da immer noch die Trennung von Variablen angebracht??

3. Auf der Rechten Seite ist eine Summe aus sin und

cos

.
Du sagst, dass man da summandenweise vorgehenmuss.
Der Ansatz für sin ist: Asin(x)

+

Bcos(x)
Der Ansatz für

cos

ist: Asin(x)

+

Bcos(x)
Wenn nun jetzt beide auftreten, muss ich da den selben Ansatz zwei mal verwenden???

4. Variation der Konstanten:
Die Form lautet: y´

+ f (x) \cdot y = g (x)

Hier hab ich Probleme bei der Interpritation.
Auf der linken Seite steht eine Funktion, die von der gesuchten Funktion abhängig ist. (richtig?)
So eine Funktion kann alles sein(e,

sin, cos,

polynom)
Auf der rechten Seite steht auch eine Funktion, die auch alles sein kann.
Daraus ziehe ich folgende Folgerung:

EGAL, was auf der rechten Seite ist, wenn auf der linken Seite es mind. eine Funktion gibts, die von der gesuchten Funktion abhängt, dann brauche ich variation der Konstanten??

Ebenfalls frohe Feiertage und erholt euch gut.
Danke

Loewe1

14:29 Uhr, 24.12.2014

Hallo,

allgemein zu 1. 2 und 4

1 und

2)

hierbei handelt es sich um eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung

Merkmal:

y' + f (x) \cdot y = g (x)

Lösung: durch Variation der Konstanten .

Bei Trennung der Variablen liegt folgende Struktur vor:

y' = f (x) \cdot g (y)

Das ist aber bei 1 und 2 NICHT der Fall, deswegen Variation der Konstanten.

Das Ganze steht auch nochmal in dem Link von mir auf Seite 1.

Loewe1

14:40 Uhr, 24.12.2014

Hallo,

Wäre da immer noch die Trennung von Variablen angebracht??

in beiden Fällen Nein :(Aufgabe 1 und

2)

Bei Trennung der Variablen müßte ja dann alles mit

y

auf der einen Seite und
alles mit

x

auf der anderen Seite stehen.

Das geht aber hier nicht.

Gamert aktiv_icon

14:46 Uhr, 24.12.2014

hallo und danke schön.
Ich habe eben meinen zweiten Beitrag angepasst, da ich durch das Anschauen von Formelnsammlungen manches besser vertanden hab und bei manchem Fragen aufgetreten sind^^
Schaut bitte auf den zweiten Beitrag von mir.
Danke

Loewe1

15:08 Uhr, 24.12.2014

Hallo,

hab Deinen Beitrag gelesen

EGAL, was auf der rechten Seite ist, wenn auf der linken Seite es mind. eine Funktion gibts, die von der gesuchten Funktion abhängt, dann brauche ich variation der Konstanten??

Wichtig ist bei Variation der Konstanten folgende Struktur:

y' + f (x) \cdot y = g (x)

Ja , was rechts als Störfunktion steht ist egal.

Ich schreibe Dir mal zur Verdeutlichung einige Beispiele für Variation der Konstanten.
vielleicht ist es besser zu verstehen:

1 .) y' + 6 y + e^{x} = 0

(oder umgeformt dann:

y' + 6 y = - e^{x})

2 .) y' = \frac{2 y}{x} + 4 \cdot {(x)}^{\frac{1}{3}}

(oder umgeformt dann:

y' - \frac{2 y}{x} = 4 \cdot {(x)}^{\frac{1}{3}})

3 .) y' - \frac{y}{x} = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{x}

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

zu Punkt

3)

3. Auf der Rechten Seite ist eine Summe aus sin und

cos

.

Du sagst, dass man da summandenweise vorgehen muss. --->ja

Siehe 1. Seite ; 3.Zeile der Tabelle:

Der Ansatz für

sin (3 x)

ist:

A \cdot sin (3 x) + B \cdot cos (3 x)

Der Ansatz für

cos

(2x)ist:

C \cdot sin (2 x) + D \cdot cos (2 x)

Wenn nun jetzt beide auftreten, muss ich da den selben Ansatz zwei mal verwenden???
ja , aber nur wenn der Ausdruck in der Klammer verschieden ist :
ich meine

2 x

und

3 x

im Sinus und Cosinus.

Gamert aktiv_icon

15:48 Uhr, 25.12.2014

vielen vielen dank, das klärt einiges auf.
zu deinen 3 Beispielen für variation der Konstanten.
mit der Struktur:
y´

+ f (x) \cdot y = g (x)

hast du angegeben:
y'+6y+ex=0 bzw.

y' + 6 y = e^{x}

Die 6 ist ja dabei eine Konstante und keine

f (x)

Funktion, sodass ich daraus eine Schlussfolgerung ziehe, dass diese

f (x)

Funktion gar nicht vorhanden sein muss? um dennoch mit der variation der Konstanten zu rechnen

Loewe1

19:48 Uhr, 25.12.2014

Hallo,

y´ +f(x)⋅y=g(x)

y' + 6 \cdot y + e^{x} = 0

bzw. y′+6

y = - e^{x}

Die 6 ist ja dabei eine Konstante und keine

f (x)

Funktion, sodass ich daraus eine Schlussfolgerung ziehe, dass diese

f (x)

Funktion gar nicht vorhanden sein muss? um dennoch mit der variation der Konstanten zu rechnen

Die 6 kannst Du als

f (x)

betrachten und ohne Probleme Variation der Konstanten durchführen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1206943

1206856

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?