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DGL höherer Ordnung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Rusty29 aktiv_icon

16:48 Uhr, 09.05.2021

Hallo.

Ich habe folgende Funktionen gegeben:

f (x) = x^{2} \cdot e^{2 \cdot x}

und

g (x) = sin (3 \cdot x)

.
Die Aufgabenstellung lautet: Welche Ordnung muss eine homogene lineare DGL mit ausschließlich reellen Koeffizienten mindestens haben, damit die Funktionen

f (x)

und

g (x)

Lösungen dieser DGL sind? Ermitteln Sie die homogene lineare DGL kleinster Ordnung mit führendem Koeffizienten Eins und ansonsten ausschließlich reellen Koeffizienten, sodass

f (x)

und

g (x)

Lösungen dieser DGL sind.
Meine Lösung:
Ordnung 5 und

y''''' - 6 \cdot y'''' + 21 \cdot y''' - 62 \cdot y'' + 108 \cdot y^{'} - 72 \cdot y = 0

Bei der anderen Aufgabe sind die Funktionen

f (x) = sin (2 \cdot x), g (x) = x \cdot e^{- 5 \cdot x},

h(x)=e^(w1*x)*cos(w2*x)gegeben. Die Aufgabenstellung ist die gleiche wie oben.
Meine Lösung: Ordnung 6
Ich habe angefangen das charakteristische Polynom aufzustellen:

p (L) = (L^{2} + 4) \cdot {(L + 5)}^{2} \cdot (L^{2} - \frac{w}{2} \cdot L + w 2) = 0

. Wie muss man hier weitermachen und stimmen die Schritte soweit?

Vielen Dank für Eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

11:49 Uhr, 10.05.2021

Hallo,

Deine Lösungen kann ich nicht nachvollziehen.

Bei der ersten solltest Du zunächst das charakteristische Polynom (unausmultipliziert) angeben.

Aufgrund der Darstellung für die 2. Aufgabe, denke ich, dass ein Problem der Umgang mit dem Term

x \cdot e^{- 5 \cdot x}

ist; das bedeutet doch, dass

- 5

einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist!?

Den quadratischen am Ende kann ich nicht nachvollziehen. Müsste der nicht sein

(L - (w_{1} + i \cdot w_{2})) \cdot (L - (w_{1} - i \cdot w_{2}))

Gruß pwm

Rusty29 aktiv_icon

14:50 Uhr, 14.05.2021

Schonmal danke für die Antwort.

charakteristisches Polynom zu

1 .) :

p (L) = {(L - 2)}^{3} \cdot (L^{2} + 9) = 0

{(L - 2)}^{3},

da innere Resonanz und somit

x = 2

dreifache Nullstelle des char. Polynoms

Was muss ich beim charakteristischen Polynom der 2.Aufgabe verändern?

{(L + 5)}^{2},

da innere Resonanz und

x = - 5

Nullstelle des char. Polynoms mit Vielfachheit 2

Schonmal danke für Eure Hilfe.

pwmeyer aktiv_icon

18:09 Uhr, 14.05.2021

Hallo,

ja,

1)

ist richtig. Bei

2)

hatte ich falsch geschaut, das ist richtig, was den Term

x \cdot e^{- 5 \cdot x}

angeht.

Für den Term

e x p (w_{1} \cdot x) \cdot cos (w_{2} \cdot x)

hatte ich Dir ja schon den Beitrag zum charakteristischen Polynom aufgeschrieben.

Gruß pwm

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