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DGL konzentrations änderung in einem becken

Universität / Fachhochschule

Tags: aufstellen, Differentialgleichung, konzentrationsänderung, salzlösung

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22:49 Uhr, 18.03.2021

Fragenstellung
Ein Tank enthält 50kg Salz in

1000 L

Wasser gelöst. ab

t = 0 s

strömen

10 \frac{g}{L}

mit

10 \frac{L}{s}

rein . Aus dem Tank strömen

10 \frac{L}{s}

durchmischte Lösung wieder raus.

Mein DGL Ansatz war
Zufuhr -Abfuhr

Y =

Salzmenge

X =

Zeit

10 \frac{L}{t} \cdot 10 \frac{g}{L} - 10 \frac{L}{t} \cdot (\frac{Y (t)}{1000} L) =

DY/DT

100 - (10 \cdot \frac{Y}{100}) =

DY/DT

\frac{10000 - Y}{100} =

DY/DT

ich komme dann nach Substitution, der Variable Trennung und Integration auf folgende Funktion

Y = 10000 - C \cdot e^{(- 0.01) \cdot t}

Aber das macht irgendwie kein Sinn
bei

T = 0

komme ich auf eine Konstante von

C = - 40000

und die Menge an Salz nimmt zu aber sollte Abnehmen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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00:56 Uhr, 19.03.2021

Hallo,

du hast da einen Rechenfehler:

100 - (\frac{Y}{10}) = Y^{ʹ}

Mit 10 erweitern.

(\frac{1000 - Y}{10}) = Y^{ʹ}

___________________________________________________________________________

Ansonsten ist die DGL

Y^{ʹ} + \frac{1}{10} Y = 100

Die Lösung der homogenen DGL

Y^{ʹ} + \frac{1}{10} Y = 0

ist

Y_{h} = C \cdot e^{- \frac{1}{10} t}

.
Und die Lösung der inhomogenen DGL

Y^{ʹ} + \frac{1}{10} Y = 100

ist

Y_{p} = 1000

.

Gruß
pivot

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08:29 Uhr, 20.03.2021

Hi Pivot

Herzlichen Dank für deinen Imput. Habe ich fast vermutet das die Aufstellung meiner DGL nicht korrekt war.

Kannst du mir vielleicht näher erläutern wie du auf

Y′+110Y=100 kommst? Ich kann es nicht nachvollziehen.

Vielen Dank im Voraus

Güsse

N

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17:22 Uhr, 20.03.2021

Ich habe eben den Rechenfehler niciht gemacht.

100 - \frac{Y}{10} = Y^{ʹ}

Auf beiden Seiten

\frac{Y}{10}

addieren.

100 = Y^{ʹ} + \frac{Y}{10}

bzw.

Y^{ʹ} + \frac{1}{10} Y = 100

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17:36 Uhr, 21.03.2021

Hi Pivot

Ich glaub ich stehe im Wald

die Ursprungswerte sind ja

100 - (10 \cdot \frac{Y}{1000}) = y'

dann kommt man doch auf

y' + (\frac{1}{100}) \cdot y = 100

oder?

Gruss

N

PS: Ich verstehe aber, dass ich die Gleichung in die Form einer Inhomogene Gleichung setzen musste.

pwmeyer aktiv_icon

18:27 Uhr, 21.03.2021

Hallo,

ich versuche es auch einmal: Die Gleichung ist

y' + 0.01 y = 100, y (0) = 50000

Die Lösung ist

y' (t) = 10000 + 40000 \cdot e x p (- 0.01 \cdot t)

Gruß pwm

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18:44 Uhr, 21.03.2021

HI PW

ja auf das komme ich auch :-)

Herzlichen Dank an beide

Gruss

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