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DGL lösen mit Fallunterscheidung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Gleichungen auflösen

Xalagy aktiv_icon

13:34 Uhr, 06.04.2020

Hallo zusammen,

Folgendes DGL ist gegeben: x''(t)+5x(t)=3cos(

β t)

Gesucht:

1 .)

Homogene Lösung

2 .)

Ansatz der speziellen Lösung der DGL

3 .)

Berechnen der speziellen Lösung durch KOeffizientenvergleich (nur für

β

≠

5^{0,5})

Möchte hierbei wissen, ob der Rechenweg OK ist und ob die Nomenklatur der Mathematik eingehalten wurde:

1 .)

pq-Formel anwenden

\to

zwei, komplex-konjugierte NS

\to σ

ω i \to σ = 0, ω = 5^{0,5}

\to y_{H} (t) = e^{σ t} \cdot (C_{1} \cdot sin (ω t) + C_{1} \cdot cos (ω t)) \to y_{H} (t) = C_{1} \cdot sin (5^{0,5} t) + C_{1} \cdot cos (5^{0,5} t)

2 .) y_{p} (t) = 3 cos (β t) \to y_{p} (t) = A cos (B t)

\to y'_{p} (t) = - A B sin (B t) \to y''_{p} (t) = - A B^{2} cos (B t)

\to y''_{p} (t) + y'_{p} (t) = 3 cos (ω t)

\to

Koeffizientenvergleich:

\to B = β

\to - A β^{2} - A β = 3 \to A (β^{2} - β) = - 3

\to

Fallunterscheidung:

β^{2} - β

≠

0 \to β_{1} = 1, β_{2} = 0

y_{p} (t) = - \frac{3}{β^{2} - β} \cdot cos (β t),

∀

β

∈

R

≠

{0; 1}

(Für den Gültigkeitsbereich bin ich mir ehrlich gesagt unsicher. Ich wollte die Aussage mathematisch schreiben: ,,Alle

β

ist element der reelen zahlen außer 0 und 1")

3 .)

Ich weiß nicht, was genau verlangt ist. Soll ich jetzt eine Lösungsmenge berechnen oder nur eine Lösung? da scheitere ich...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Nick76 aktiv_icon

14:39 Uhr, 06.04.2020

Eine Bemerking zu

1 .) :

Die Faktoren vor den Basislösungen sind verschieden.
Die vollständige Lösung der homogenen DGL lautet daher:

x_{H} (t) = C_{1} \cdot cos (\sqrt{5} \cdot t) + C_{2} \cdot sin (\sqrt{5} \cdot t)

mit

C_{1}, C_{2} \in ℝ

pivot aktiv_icon

14:52 Uhr, 06.04.2020

Hallo.

Zu 2. Das Störglied enthält prinzipiell immer die Kosinusfunktion und die Sinusfunktion.

x_{p} = A \cdot \cos (β t) + B \cdot \sin (β t)

x_{p}^{ʹ} = - A \cdot β \cdot \sin (β t) + B \cdot β \cos (β t)

x_{p}^{ʹ ʹ} = - A \cdot β^{2} \cdot \cos (β t) - B \cdot β^{2} \sin (β t)

Ist jetzt die Differentialgleichung

x ʺ (t) + 5 x (t) = 3 c o s (β t)

oder

x ʺ (t) + 5 x^{ʹ} (t) = 3 c o s (β t)

?

Ich frage nur wegen der Zeile "

y^{''} p (t) + y^{'} p (t) = 3 c o s (ω t)

"

Gruß

pivot

Nick76 aktiv_icon

15:02 Uhr, 06.04.2020

Bei

2 .)

ist mir nicht klar wie Du auf die Gleichung für den Koeffizientenvergleich
kommst. Die partikuläre Lösung erfüllt die DGL, also muss gelten:

x_{p}'' (t) + 5 \cdot x_{p} (t) = 3 \cdot cos (β \cdot t)

mit

x_{p} (t) = A \cdot cos (B \cdot t)

Noch eine kleine Bemerkung zum Gültigkeitsbereich.
Die Menge der reellen Zahlen außer 0 und 1 schreibt man gewöhnlich folgendermaßen:

ℝ \ {0, 1}

Der Schrägstrich bezeichnet dabei die mengentheoretische Differenz, also in diesem
Fall die Menge der reellen Zahlen abzüglich 0 und 1.

pivot aktiv_icon

15:09 Uhr, 06.04.2020

@Nick

Es muss immer der vollständige Ansatz verwendet werden. Siehe oben.

Xalagy aktiv_icon

15:26 Uhr, 06.04.2020

Ich weiß, dass man

y_{p} (t)

zweimal ableiten muss, weil die Ordnung der DGL

x'' (x) + 5 x (t) = 3 cos (ω t)

gleich 2 ist.

Ich habe mir also gedacht:

\to x'' (x) + 5 x (t) = 3 cos (β t)

Da ich nicht weiß, wie ich hier weiter vorgehen soll, habe ich zuerst den Ansatz für den Koeffizientenvergleich gewählt:

\to y_{p}'' (x) + y'_{p} (t) = A cos (β t)

Und da war ich mir unsicher, weil auch die untere Gleichung ja der Ansatz für den Koeffizientenvergleich sein könnte:

\to y_{p}'' (x) + 5 y_{p} (t) = A cos (β t)

Deswegen scheiter ich daran, A zu bestimmen...

pivot aktiv_icon

15:37 Uhr, 06.04.2020

1. Verwende

x (t)

und nicht

y (t)

, wenn die abhängige Variable x ist.

2. Vollständiger Störgliedansatz (siehe oben)

Edit

Das Störglied ist

x_{p} (t) = A \cdot \cos (β t) + B \cdot \sin (β t)

Nun zweimal ableiten. Danach in die DGL einsetzen und Koeffizientenvergleich.

ledum aktiv_icon

15:43 Uhr, 06.04.2020

Hallo
zu pivot: es muss immer der volle Ansatz verwendet werden, ist hier nicht richtig, da

x'

nicht vorkommt sieht man direkt, dass kein sin Term auftritt.

y_{p} = A \cdot cos (β \cdot t), y'' = - β^{2} \cdot A \cdot cos (β \cdot t)

einsetzt

: - - β^{2} \cdot A \cdot cos (β \cdot t) + 5 \cdot A \cdot cos (β \cdot t) = 3 \cdot cos (β \cdot t)

also

(- β^{2} + 5) \cdot A = 3

und wegen

β \neq \sqrt{5}

folgt

A = \frac{3}{5 - β^{2}}

wo liegt dien Schwierigkeit?
oder wie kommst du plötzlich auf →y_p''(x)+y'_p(t)=Acos(βt) das ist doch eine völlig andere Dgl??
Gruß lul

pivot aktiv_icon

15:45 Uhr, 06.04.2020

@ledum

Allgemein muss immer der vollständige Ansatz gewählt werden, oder nicht?

Nick76 aktiv_icon

15:51 Uhr, 06.04.2020

@pivot:

Es muss nicht immer der vollständige Ansatz gewählt werden.
Wir suchen hier nur eine spezielle Lösung für die DGL.
Wenn also ein einfacherer Ansatz zum Ziel führt, ist das völlig in Ordnung.

pivot aktiv_icon

16:00 Uhr, 06.04.2020

Es kommt sicher auf die Struktur der DGL an. Aber allgemein ist meine Empfehlung immer den vollständigen Ansatz zu wählen, da man sonst schnell in Schwierigkeiten kommen kann. Oder anderes gesagt: Ist die rechte z.B. eine Kosinusfunktion, dann ist es nicht zwingend hinreichend den Störterm

A \cdot c o s (b \cdot t)

zu verwenden.

Xalagy aktiv_icon

16:20 Uhr, 06.04.2020

An alle Teilnehmer des Themas,

vielen Dank für das Interesse an dieser Frage und ihre Beantwortung.

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