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DGL mit 3 abhänigen unbekannten lösen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Abhängigkeit, Gewöhnliche Differentialgleichungen, mehrere Unbekannte

dachs12 aktiv_icon

14:03 Uhr, 01.06.2023

Hallo zusammen, ich möchte einen Temperaturverlauf simulieren und bin auf folgendes mathematisches Problem gestoßen, bei dem ich nicht mal weiß wie ich anfangen soll.

Meine Gleichung hat (vereinfacht) die Form:

(1) :

dT/dR

= a \cdot R (b - c \cdot (X^{4} - d^{4}) + h 1 \cdot (T - Y) + e (X - f))

dabei sind alle kleingeschriebenen Buchstaben

a, b, c, d, h 1

und

f

konstant und bekannt. Integrationsgrenzen für

r

sind ebenfalls bekannt. Nun benötigt man noch zusätzliche Gleichungen für

X

und

Y

(2) : b = c \cdot (X^{4} - d^{4}) + h 2 (X - T) + e \cdot (X - f)

(3) : h 1 \cdot (T - Y) = k (Y - Z)

(4) : k (Y - Z) = h 3 \cdot (Z - d)

Ich habe also zusätzlich 3 unbekannte und 3 zusätzliche Gleichungen. Ich frage mich nur wie das jetzt lösen soll, da ja alle unbekannten voneinander abhängig sind. Mir wirde nur ein iteratives Verfahren einfallen, wo ich Werte für

T, X, Y

und

Z

vorgebe und solange probiere bis es funktioniert.

Jemand einen Plan?

HAL9000

14:55 Uhr, 01.06.2023

Ok, du hast die vier Funktionen

T, X, Y, Z

von

R

.

(4) nach

Z

auflösen ergibt

Z = \frac{k Y + h_{3} d}{k + h_{3}}

.

Dies in (3) eingesetzt bekommt man

h_{1} (T - Y) = k (Y - \frac{k Y + h_{3} d}{k + h_{3}})

h_{1} (k + h_{3}) T - h_{1} (k + h_{3}) Y = k (k + h_{3}) Y - k (k Y + h_{3} d)

Ist auch nichts weiter als eine lineare Abhängigkeit von

T

und

Y

, die wir mal nach

Y

auflösen:

h_{1} (k + h_{3}) T + k h_{3} d = (k h_{3} + k h_{1} + h_{1} h_{3}) Y

Y = \frac{h_{1} (k + h_{3}) T + k h_{3} d}{k h_{3} + k h_{1} + h_{1} h_{3}} (5)

Schließlich kann man (2) nach

T

umstellen

T = \frac{c (X^{4} - d^{4}) + h_{2} X + e (X - f) - b}{h_{2}} (6)

Setzt man nun (5) in (1) ein, und ersetzt anschließend alle Auftreten von

T

mittels (6) durch

X

, dann steht rechts in (1) ein Polynom vierten Grades in

X

.

Differenziert man andererseits (6) nach

R

, so bekommt man

\frac{d T}{d R} = \frac{4 c X^{3} + h_{2} + e X}{h_{2}} \cdot \frac{d X}{d R}

,

das steht dann auf der linken Seite von (1). Was hat man damit gekonnt? Nun man hat dann DGL

p_{1} (X) \cdot \frac{d X}{d R} = R \cdot p_{2} (X)

mit zwei Polynomfunktionen

p_{1}, p_{2}

vorliegen, die man durch Trennung der Variablen lösen kann:

\int \frac{p_{1} (X)}{p_{2} (X)} d X = \frac{R^{2}}{2} + C

p_{1}

ist vom Grad 3 und

p_{2}

vom Grad 4, das ergibt eine nette Partialbruchzerlegung.

dachs12 aktiv_icon

15:35 Uhr, 01.06.2023

Ah vielen Dank. Ich versuche das mal zu lösen :-)

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