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DGL mit Partialbruchzerlegung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Partialbruchzerlegung

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18:49 Uhr, 13.08.2017

Hallo,

ich versuche seit geraumer Zeit folgende DGL zu lösen:

x' = {(1 - x)}^{2} + 2 (1 - x)

Ich habe zuerst alles durch den Teil rechts geteilt, wodurch man folgendes erhält:

\frac{d x}{{(1 - x)}^{2} + 2 (1 - x)} = 1 d t

Partialbruchzerlegung um die Integration zu erleichtern:

\frac{1}{{(1 - x)}^{2} + 2 (1 - x)} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{2 (1 - x)}

Grenzwertmethode liefert keine Ergebnisse (mit Abdeckregel, da Nenner immer 0 wird)

Koeffizientenvergleich liefert unterschiedliche werte für

B :

einmal

0,

einmal

\frac{1}{2}

1 = 2 A + 2 B + c

0 = - 4 A - 2 B - 2 C

0 = 2 A + C

Ich verstehe nicht, wieso bei mir 2 unterschiedliche Werte für

B

rauskommen.. Kann mir hier jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

18:51 Uhr, 13.08.2017

Ist dir schon aufgefallen, dass da im Nenner ein

+

steht und kein

⋆

?
Und selbst wenn ein

⋆

da stehen würde, wäre dein Ansatz falsch, da

(1 - x)

dann ja eine dreifache Nullstelle wäre.

Also erstmal den Nenner ausrechnen, zusammenfassen, dann die Nullstellen bestimmen und den Ansatz richtig machen.

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19:17 Uhr, 13.08.2017

Ah jetzt bin ich weiter. Also zuerst in die quadratische Gleichung bringen, NST berechnen, Linearfaktoren

(X - 1) (x - 3)

angeben und damit die Partialbruchzerlegung starten.

Es ist ein

+

kein* im Nenner. Ist das der Grund, wieso zuerst in Linearfaktoren zerlegt werden muss?

Wenn es ein

\cdot

gewesen wäre, was stimmt dann nicht an meinem Ansatz?

Jedenfalls vielen Dank für die schnelle Hilfe

Roman-22

19:47 Uhr, 13.08.2017

>

Ist das der Grund, wieso zuerst in Linearfaktoren zerlegt werden muss?
Du musst immer in Faktoren zerlegen (wenn du in

ℝ

bleiben möchtest, sind das nicht unbedingt immer lineare Terme, sie können auch quadratisch sein). Aber wenn im Nenner zwei Terme mit einem

⋆

verknüpft sind, dann sind das ja schon Faktoren und du musst dich nur mehr fragen, ob man diese Faktoren vl noch weiter zerlegen kann. In deinem Fall hast du aber nur Summanden, und die helfen bei einer Faktorzerlegung nicht so viel ;-)

>

Wenn es ein ⋅ gewesen wäre, was stimmt dann nicht an meinem Ansatz?
Mit einem

⋆

wäre ja dann folgender Bruch zu zerlegen gewesen.

\frac{1}{2 \cdot {(1 - x)}^{3}} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{{(1 - x)}^{3}}

Und da hättest du nichts mehr zu rechnen gehabt, denn da steht ja die PBZ quasi schon in der Angabe da

(A = B = 0, C = \frac{1}{2})

Da gäbe es nur was zu rechnen, wenn im Zähler anstelle eine Konstanten ein Ausdruck in

x,

x^{2},

stehen würde.

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21:29 Uhr, 13.08.2017

Alles klar super vielen Dank. Ich hab dann mit der Aufgabe weitergemacht und stehe jetzt erneut vor einem Problem.

Anfangsbedingungen sind

x (0) = 0

Ich habe danach integriert:

\frac{1}{2} ln (x - 3) - \frac{1}{2} ln (x - 1) + ln C = t

Sehe ich das richtig, dass ich im weiteren Verlauf nach

x

auflösen muss bzw Von über die Anfangsbedingungen berechnen?

Da stellt sich mir nämlich leider schon das nächste Problem in den Weg (auflösen nach

x)

\frac{1}{2} ln (\frac{x - 3}{x - 1}) + ln C - t = 0

ln (\frac{x - 3}{x - 1}) +

2ln

C - 2 t = 0

\frac{X - 3}{x - 1} \cdot e^{2} + C \cdot e^{2 t} = 0

Ab da weiß ich nicht mehr weiter, wie ich jetzt nach

x

auflösen soll...

Bitte nochmals um Hilfestellung

ledum aktiv_icon

21:45 Uhr, 13.08.2017

Hallo
1. woher das

e^{2}

das ist falsch.

1 a)

ln

muss ein Betrag stehen.
3. mit dem Nenner multiplakative. dann alles mit

x

auf eine Seite. Rest auf die andere,

x

ausklammern , dividieren-
2e^c=C^setzen
Gruß ledum

Roman-22

21:47 Uhr, 13.08.2017

Der letzte Schritt (entlogarithmieren einer Summe) ist grob falsch!!

e^{a + b} \neq e^{a} + e^{b}

Außerdem - was du der linkes Seite antust, das tue auch der rechten Seite an.

e^{0} = 1

Zu deiner Kontrolle:

x (t) = \frac{3 - K \cdot e^{2 t}}{1 - K \cdot e^{2 t}}

und mit der Anfangsbedingung stellt sich

K = 3

ein.

Natürlich kann man die Funktion auch anders schreiben, zB

x (t) = \frac{e^{2 t} - 3 D}{e^{2 t} - D}

und dann kommt man eben auf

D = \frac{1}{3}

Hollowman aktiv_icon

16:12 Uhr, 14.08.2017

Also jetzt bin ich schonmal weiter aber komme immernoch nicht so ganz auf ein brauchbares Ergebnis.

Die erste Frage die sich mir stellt ist, ob ich jetzt nach der Integration

ln C

oder einfach nur

C

verwenden soll.

Bei der Verwendung von nur

C

ergibt sich folgendes:

ln (\frac{x - 3}{x - 1}) - 2 t + 2 C = 0

\frac{x - 3}{x - 1} \cdot e^{2 C - 2 t} = 1

(x - 3) \cdot e^{2 C - 2 t} = 1

e^{2 C - 2 t} \cdot x - 3 e^{2 C - 2 t} = x - 1

x (e^{2 C - 2 t} - 1) = 3 e^{2 c - 2 t} - 1

x = \frac{3 e^{2 c - 2 t} - 1}{e^{2 c - 2 t} - 1}

Wolfram Alpha schlägt mir vor:

x (t) = \frac{e^{2 c + 2 t} - 3}{e^{2 c + 2 t} - 1}

Wo ist der Fehler bei meiner Lösung oder kann man das irgendwie so umformulieren?

Danke für die bisherigen Bemühungen und alle weiteren :-D)

Gruß

ledum aktiv_icon

16:52 Uhr, 14.08.2017

Hallo
kürz deinen Bruch durch

e^{- 2 t + 2 c}

und setze

c_{1} = - c

Gruß ledum

Hollowman aktiv_icon

17:03 Uhr, 14.08.2017

Dann komme ich auf folgendes:

\frac{3 - e^{2 c - 2 t}}{1 - e^{2 c - 2 t}} = x

Das ist jetzt auch noch nicht das selbe auch wenn ich

c = - c 1

setze

Ist es nun sinnvoller beim integrieren

C

zu wählen anstatt

ln C

? oder bleibt es sich gleich?

pivot aktiv_icon

17:08 Uhr, 14.08.2017

Du gehst irgendwie merkwürdig vor. Prinzipiell heißt die Methode "Trennung der Variablen". Das heißt auch, dass man bei der Exponenzierung die Variablen getrennt hält.

Nach der Partialbruchzerlegung steht da:

½ \cdot (\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{3 - x}) d x = d t

Jetzt sind die beiden Variablen getrennt. Man kann die Gleichung noch mit 2 multiplizieren und dann integrieren.

\int (\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{3 - x}) d x = 2 \cdot \int d t

- \ln (1 - x) + \ln (3 - x) = 2 t + c

Logarithmen zusammenfassen

\ln (\frac{3 - x}{1 - x}) = 2 t + c

\frac{3 - x}{1 - x} = e^{2 t + c}

3 - x = (1 - x) \cdot e^{2 t + c}

Terme mit x auf der linken Seite zusammenfassen.

(e^{2 t + c} - 1) \cdot x = e^{2 t + c} - 3

\Rightarrow x = \frac{e^{2 t + c} - 3}{e^{2 t + c} - 1}

Hollowman aktiv_icon

18:13 Uhr, 14.08.2017

@Pivot:

Wie kommst du auf das Ergebnis?

- ln (1 - x) + ln (3 - x) = 2 t + 2 c

Das macht für mich keinen Sinn.

Richtig muss sein:

ln (1 - x) - ln (3 - x) = 2 t + 2 c

Allerdings resultiert dadurch ein anderes Endergebnis nämlich folgendes:

x = \frac{3 - e^{2 t + 2 c}}{1 - e^{2 t + 2 c}}

Das ist wiederum nicht das was mir Wolfram Alpha ausspuckt..

Wo liegt der Fehler?

pivot aktiv_icon

19:19 Uhr, 14.08.2017

Prinzipiell gilt ja

\int \frac{1}{y} d y = \ln (y) + c

. Soweit sind wir uns einig. Jedoch muss man bei

\int \frac{1}{1 - x} d x

berücksichtigen, dass das x im Nenner negativ ist.

Leitet man

\ln (1 - x)

ab muss man die Kettenregel beachten. Die äußere Ableitung ist

\frac{1}{1 - x}

. Und die Ableitung von

1 - x

(innere Ableitung) ist

- 1

. Um das zu berücksichtigen multipliziert man

\ln (1 - x)

mit -1.

Somit ist

\int \frac{1}{1 - x} d x = - \ln (1 - x) + c = \ln (\frac{1}{1 - x}) + c

Genauso verhält es sich mit

- \int \frac{1}{3 - x} d x

Roman-22

21:41 Uhr, 14.08.2017

Nachdem ich dir nicht eine bestimmte Methode aufzwingen möchte, die ich vielleicht aus persönlichen Gründen für besonders geschickt halte, mach ich mal bei deinem Ergebnis von vorhin weiter, denn das war ja schließlich durchaus richtig!
Du hattest völlig richtig

x (t) = \frac{3 e^{2 c - 2 t} - 1}{e^{2 c - 2 t} - 1} = (⋆)

Das schreiben wir jetzt ein wenig um

(⋆) = \frac{3 e^{2 c} \cdot e^{- 2 t} - 1}{e^{2 c} \cdot e^{- 2 t} - 1} = (⋆ ⋆)

jetzt erweitern wir mit

e^{2 t}

und setzen

D = e^{2 c}

(⋆ ⋆) = \frac{3 D - e^{2 t}}{D - e^{2 t}} = (⋆ ⋆ ⋆)

.
Das entspricht nun bis auf Vorzeichenänderung und die Reihenfolge der Summanden in Zähler und Nenner der zweiten Art, die Lösung aufzuschreiben, die ich dir gestern schon genannt hatte.
Wenn du nun zB

D = \frac{1}{K}

setzt und mit

K

erweiterst, kommst du auf

(⋆ ⋆ ⋆) = \frac{3 - K e^{2 t}}{1 - K e^{2 t}}

.
Das entspricht nun meiner erstgenannten Lösung von gestern (wieder bis auf Summandenreihenfolge und Vorzeichenänderung) und auch der von WA genannten Lösung, wenn du dort für

e^{2 c} = K

setzt. WA macht das vl deswegen nicht, weil wenn

c \in ℝ

ist, so darf man

K

nur mehr

K \in ℝ_{> 0}

wählen. Für deine AB ist es aber deutlich bequemer,

e^{2 c}

zu ersetzen.

Hollowman aktiv_icon

18:01 Uhr, 20.08.2017

Vielen Dank, habe es verstanden

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